Плоскость и прямая в пространстве

1. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости есть уравнение первой степени относительно :

.

Вектор перпендикулярен к плоскости.

2. Если плоскость проходит через точку , то ее уравнение

.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки ,

, :

4. Расстояние от точки до плоскости находится по формуле

Пример. Найти расстояние до плоскости, проходящей через точки , , , от начала координат.

Решение. Составим уравнение плоскости

,

; .

Расстояние от начала координат до плоскости

.

5. Общие уравнения прямой записываются как линия пересечения двух плоскостей:

если и не коллинеарны.

6. Канонические уравнения:

–прямая, проходящая через точку в направлении .

7. Прямая, проходящая через две данные точки

8. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, прямых, прямой с плоскостью определяются соотношениями направляющих векторов и . Например, если плоскости параллельны, то , если прямая параллельна плоскости, то и т. п.

Пример. Через точку провести прямую, перпендикулярно плоскости .

Решение. Воспользуемся каноническими уравнениями прямой , так как его длина несущественна, можно взять . Имеем : .

Пример. Точки , , , являются вершинами пирамиды. Вычислить 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани ; 4) Объем пирамиды; 5) уравнения прямой ; 6) уравнение плоскости ; 7) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 8) длину этой высоты.

Решение. Найдем координаты векторов — ребер:

.

, ,

.

1) Длина вектора .

2) ,

,

Скалярное произведение: ,

,

.

Из таблиц (или с помощью калькулятора) находим .

3) Площадь грани .

Векторное произведение

;

,

4) Объем пирамиды .

Смешанное произведение

,

.

5) Уравнения прямой пишем как уравнение прямой, проходящей через две точки:

; ;

.

6) Уравнение плоскости по трем точкам:

.

; ;

.

7) Уравнение высоты . Канонические уравнения прямой:

.

Прямая проходит через точку , в качестве направляющего вектора возьмем вектор — нормаль к плоскости .

8) Длина высоты может быть найдена как расстояние т. от плоскости

или

; .