Разложение вектора по базису.

Любые три вектора , , , не лежащие в одной плоскости, могут быть приняты за базис в . Всякий вектор может быть разложен по этому базису, т. е. представлен в виде .

Пример. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

; , .

Решение. Найдем смешанное произведение

,

Объем

Пример. Убедиться, что векторы не лежат в одной плоскости, написать разложение вектора по векторам если

; ; ; .

Решение. 1) Проверяем условие компланарности для векторов .

не лежат в одной плоскости и могут быть приняты за базис.

2) Разложим вектор по векторам :

.

Чтобы найти запишем это равенство для каждой координаты

Решив систему уравнений любым известным способом, находим ; ; . Значит, .