Основные действия с векторами.
Пусть ,
,
– скаляр.
1°. Û
,
,
.
2°. .
3°. .
4°. Длина (модуль) вектора: .
5°. Условие параллельности векторов: ||
Û
.
6°. Чтобы найти координаты вектора надо из координат его конца вычесть координаты начала .
Пример. Найти длину вектора , если
,
.
Решение. По 6°: ,
. Его длина (4°):
(ед).
3. 3. Скалярное произведение векторов есть число, вычисляемое по формуле:
.
Угол между векторами:
Условие перпендикулярности векторов: Û
Û
.
Проекция вектора на направление
:
.
Пример. Найти угол между векторами ;
.
Решение. Находим ;
,
;
,
.
3. 4. Векторное произведение.
Векторным произведением на
называется вектор
, удовлетворяющим трем условиям
1. ,
2. ;
,
3. образуют правую тройку, т. е. с конца вектора
вращение от
к
, по наименьшему углу, выглядит против часовой стрелки.
Обозначают .
Обратите внимание, .
— модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах
и
как на сторонах.
Если известны координаты сомножителей, то
.
Пример. Построить векторы ,
,
.
;
. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
и
как на сторонах.
Решение. Найдем вектор .
.
Сделаем чертеж.
На векторах и
, как на сторонах, строим параллелограмм ОАВD. Его площадь численно равна
, т. е. длине вектора
.
;
Площадь параллелограмма .
3. 5. Смешанное произведение трех векторов есть число
.
В координатной форме :
.
Модуль смешанного произведения — численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах
, как на сторонах.
Смешанное произведение имеет знак плюс, если тройка векторов — правая, минус, если тройка левая.
Условие компланарности векторов. Векторы компланарны (лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, т. е.
.
Дата добавления: 2015-01-29; просмотров: 1254;