Социальное законодательство. Научно-практическое пособие

Задача К1. Вариант 39.

Точка В движется в плоскости ху (рис. К1, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями:
х = f₁ (t), у = f₂ (t), где х и у выражены в сантиметрах, t -в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t₁ = 1с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Таблица К1

Номер условия
х = f1(t)	x = t – 4
y = f2(t)	y =

Решение

Движение точки задано координатным способом.

1. Найдем уравнение траектории, исключив из уравнений движения параметр t - время.

t = x + 4 - косинусоида

2. Находим положение точки при , подставляя это значение t в (1) и (2):

3. Находим положение точки при , подставляя это значение t в (1) и (2):

Указываем на рисунке точки и , учитывая масштаб координат.

4. Найдем скорость точки. Из теории следует, что при координатном способе задания движения определяются сначала проекции скорости на оси координат. Используя (1) и (2) - уравнения движения точки - находим

(3)

(4)

Модуль скорости . (5)

Подставляя сюда (3), (4), получим

При с : 1см/с -2,22 см/с

2,44 см/с (6)

рис. К1.

Вектор направлен по касательной к траектории в точке и показывает направление движения точки по траектории.

Удобно сейчас построить в точке естественные оси: касательную и главную нормаль (они потребуются позже). Касательную проводим вдоль ; главную нормаль проводим перпендикулярно в плоскости рисунка и направляем к центру кривизны траектории в точке (в сторону вогнутости траектории).

5. Находим ускорение точки, используя (3), (4):

(7)

(8)

Модуль ускорения.

(9)

Подставляя в (7) - (9) , найдем

0 см/с² , -1,74 см/с²,

1,74 см/с² (10)

6. Находим касательное ускорение , характеризующее изменение модуля .

Касательное ускорение можно также найти, дифференцируя по времени равенство Получим

, откуда следует

При = 1,59 см/с² (11)

Нормальную составляющую ускорения, характеризующую изменение направления , можно найти по формуле

, (12)

если - радиус кривизны траектории заранее известен, или (учитывая, что, и, следовательно, ) по формуле

. (13)

Так как в данной задаче радиус заранее неизвестен, то используем (13). Подставляя (10), (11) в (13), получим

см/с² (14)

Найдем радиус кривизны , используя (12), откуда следует, что . Подставляя в последнее соотношение и из (6) и (14), получим радиус кривизны траектории в точке : = 8,29 см

Объединяя полученные результаты, запишем ответ:

1. траектория точки -

2. -4 см, 4см

3. -3 см 2,83 см

4. 2,44 см/с;

5. 1,74 см/с² ;

6. 1,59 см/с² ; 0,72 см/с²;

8,29 см

Задача К1б. Вариант 39.

Точка В движется по дуге окружности радиуса R = 2 м по закону
S = f (t) = -2 cos(πt/6) ( s – в метрах, t – в секундах), где S= - расстояние от точки до некоторого начала А, измеренное вдоль дуги окружности (естественный способ задания движения точки). Для момента времени t₁ = 1с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения.

Изобразить на рисунке векторы , считая, что точка в этот момент находится в положении М, а положительное направление отсчета s – от А к М. Установить характер движения точки при t₁ = 1с (ускоренное или замедленное).

Решение:

Определяем скорость точки:

V =

При t₁ = 1с получим V₁ = 0,52м/с

Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим:

При t₁ = 1с получим, учитывая,
что R= 2 м,

0,14м/с²

0,47 м/с²

Тогда ускорение точки при t₁ = 1с будет

=0,49 м/с²

Ответ: V₁ = 0,52 м/с

0,14 м/с²

0,49 м/с²

Движение точки ускоренное,
т.к. V₁>0, а 0.

Задача К2. Вариант 39.

Механизм состоит из ступенчатых колес 1-3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2). Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 – r₁ = 2 см, R₁ = 4 см, у колеса 2 – r₂ = 6 см, R₂ = 8 см, у колеса 3 – r₃ = 12 см, R₃ = 16 см. На ободах колес расположены ( в произвольном месте обода) точки А, В и С. Таблица К2.

Номер условия	Дано	Найти
скорости	ускорения

Определить в момент времени t₁ = 2с указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости и ускорения соответствующих точек и тел.

Решение: вращательное движение колеса 3 преобразуется в поступательное и во вращательное движение колеса 2 через трос, в свою очередь вращательное движение колеса 2 преобразуется в движение рейки 4, Также вращательное движение колеса 3 преобразуется вращательное движение колеса 1, которое преобразуется в поступательное движение груза 5.

По условию задачи, закон движения рейки

(1)

Из (1) находим скорость рейки 4.

(трос) (1)

тогда

, тогда (2)

,
отсюда , тогда (3)

Составим пропорцию для точки С:

, тогда (7)

, тогда (9)

; вектор направлен к оси вращения.

; Вектор направлен перпендикулярно оси вращения.

, тогда (10)

(11)

Ответ: , , , ,

Задача К4. Вариант 39.

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна Е(Рис. К4), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами шарнирами О₁, О₂; точка D находится на середине стержня АВ. Длины стержня равны соответственно: l₁ = 0,4 м, l₂= 1,2 м, l₃ = 1,4 м, l₄ = 0,6 м. Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ.

Таблица К4.

Рис. К4.

Решение: 1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами и длинами стержней (Рис. К4; на этом рисунке в процессе решения задачи изображаем все векторы скоростей).

2. Определяем V_А. Точка А принадлежит стержню 1, совершающему плоскопараллельное движение. Чтобы найти , нужно знать направление и скорость другой точки звена 3. Такой точкой является точка В, принадлежащая еще звену 4(звено вращается) направлена в сторону поворота стержня 4.

8·0,6 = 4,8 м/с; (1)

Направление найдем, учитывая, что точка А принадлежит одновременно стержню 1 и, следовательно, . Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня 3) на одну прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

и 4,8 м/с (2)

3. Определяем . Точка Е принадлежит стержню 2, совершающему плоскопараллельное движение. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню 2. Для этого, зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АВ; это точка С3, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восстановленных из точек А и В. По направлению вектора определяем направление мгновенного поворота стержня 3 вокруг МЦС С₃. Вектор перпендикулярен отрезку С₃D, соединяющему точки D и С₃, и направлен в сторону мгновенного поворота тела. Величину найдем из пропорции

; (3)

Так как точка Е одновременно принадлежит ползуну Е, движущемуся по направляющим ползуна. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня 2) на одну прямую, соединяющую эти точки (прямая ED). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

и 4,16 м/с (4)

4. Определяем ω_DE. Для этого, зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня DE; это точка С2, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восстановленных из точек D и E. По направлению вектора определяем направление мгновенного поворота стержня 2 вокруг МЦС С₂.

(5)

5. Определяем а_А. Точка А принадлежит стержню 3. Чтобы найти , надо знать траекторию точки А и ускорение какой-нибудь другой точки стержня 3. Такой точкой является точка В, принадлежащая звену 4. Следовательно, , где численно

(6)

Вектор направлен вдоль ВО₂; изображаем этот вектор на чертеже. Так как точка А принадлежит одновременно стержню 1, то вектор . Вектор направлен вдоль АО₁, а вектор - перпендикулярно АО₁, ; изображаем эти векторы на чертеже.

(7)

Для определения воспользуемся равенством ( В – полюс):

(8)

Изображаем на чертеже в точке А векторы: ( переносное ускорение точки А), (вдоль АВ от А к В) и ( в любую сторону перпендикулярно АВ); численно .

(9)

Таким образом, у величин, входящих в равенство (8), неизвестны только числовые значения ; их можно найти, проектируя обе части равенства АВ (ось х), перпендикулярное неизвестному вектору . Тогда получаем

(10)

Отсюда

(11)

6. Определяем ε_АВ. Чтобы найти ε_АВ, сначала определим . Для этого обе части равенства (8) проектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось у); получаем:

(12)

Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин, найдем

Знак указывает, что направление выбрано верно.

Из равенства получим

Ответ: 4,8 м/с; 4,16 м/с; ; ;

Социальное законодательство. Научно-практическое пособие