Логарифмически нормальное распределение

Логарифмически нормальное распределение нашло широкое применение в вопросах техники, биологии, экономики и теории надежности. Его успешно применяют дня описания наработки до отказа подшипников, электронных ламп и других изделий.

Неотрицательная случайная величина распределена логарифмически нормально, если ее логарифм распределен нормально. Плотность распределения для различных значений σ приведена на рис. 3.

Плотность распределения описывается зависимостью

(18)

где М и σ — параметры, оцениваемые по результатам п испытаний до отказа;

(19)

Для логарифмически нормального закона распределения функция надежности выглядит так:

(20)

Рис. 3. Плотность логарифмически нормального распределения.

Вероятность безотказной работы можно определить по таблицам для нормального распределения (см. табл.П.1 приложения) в зависимости от значения квантили

Математическое ожидание наработки до отказа

(21)

Среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации соответственно равны:

(22)

(23)

При vx ≤. 0,3 полагают, что vx = σ, при этом ошибка не более 1%.

Часто применяют запись зависимостей для логарифмически нормального закона в десятичных логарифмах. В соответствии с этим законом плотность распределения

(24)

Оценки параметров lg x₀ и σ определяют по результатам испытаний:

(25)

Математическое ожидание Мx, среднее квадратическое отклонение σx и коэффициент вариации vx наработки до отказа соответственно равны:

(26)

(27)

(28)

Пример 6.Определить вероятность безотказной работы редуктора в течение t =10³ ч, если ресурс распределен логарифмически нормально с параметрами lg t₀ = 3,6, σ =0,3.

Р е ш е н и е. Найдем значение квантили и по ней определим вероятность безотказной работы (табл. П.1 приложения):

Ответ: P(t)=0,0228.