Гамма-распределение

Гамма-распределение является двухпараметрическим распределением. Оно занимает важное место в теории надежности. Плотность распределения имеет ограничение с одной стороны (0 ≤ х ≤ ∞). Если параметр α формы кривой распределения принимает целое значение, то это свидетельствует о вероятности появления такого же числа событий (например, отказов) при условии, что они независимы и появляются с постоянной интенсивностью λ.

Гамма-распределение широко применяют при описании появления отказов стареющих элементов, времени восстановления, наработки на отказ резервированных систем. При различных параметрах гамма-распределение принимает разнообразные формы, что и объясняет его широкое применение.

Плотность вероятности гамма-распределения определяется равенствами

при x ≥0; (38)

f(x) = 0 при x <0,

где λ >0, α >0;

(39)

Кривая изменения плотности распределения приведена на рис. 5.

Функция распределения

при x≥0; (40)

F(x) = 0 при х < 0.

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:

(41)

При α <1 интенсивность отказов монотонно убывает (что соответствует периоду приработки изделия), при α >1 — возрастает (что характерно для периода изнашивания и старения элементов).

Рис. 5. Кривые плотности гамма-распределения

При α =1 гамма-распределение совпадает с экспоненциальным распределением, при α>10 гамма-распределение приближается к нормальному закону. Если α принимает значения

произвольных целых положительных чисел, то такое гамма-распределение называют распределением Эрланга. Если λ=1/2, а значение α кратно 1/2, то гамма-распределение совпадает с распределением χ2 (хи-квадрат).