Интеграл

Определение Функция назывется первообразной функции

, если ее производная равна .

Определение.Если - некая первообразная для функции , то , где С – некая постоянная, дает нам совокупность всех первообразных функции и называется неопределенным интегралом функции

Обозначение его

Основные свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4.

5.

Таблица основных интегралов:

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. 12.

Формула интегрирования по частям

Определение. Пусть на замкнутом промежутке задана непрерывная функция и - произвольное разбиение отрезка .

Сумма вида где - некоторое число из отрезка , а - длина этого отрезка, называется интегральной суммой функции на отрезке .

Определенным интнгралом от функции на отрезке называется предел последовательности интегральных сумм при бесконечном дроблении отрезка , обозначают

Формула Ньютона-Лейбница:

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение.

Пример 2. Найти неопределенный интеграл

1)

Решение.

Ответ:

2)

Решение.

Ответ:

3)

Решение.

Ответ:

Пример 3. Вычислить

Решение.

Ответ:

Пример 4. Определить объем тела вращения вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной кривыми

Решение.

Ответ: