Дифференцирование функции одной переменной

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю.

Обозначают

Правила вычисления производных

1. , 2. , 3.

Таблица производных

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Пример 1.Используя правила и формулы дифференцирования найти производные функций: 1)

2) 3) 4)

Решение.

1)

2)

3)

4)

Пример 2. Определить глобальные экстремумы

Решение.

Ответ:

Пример 3. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции

Решение.

точки экстремума,

-экстремумы функции,

- промежутки возрастания,

- промежутки убывания.

Пример 4. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

Решение.

- точка перегиба.

- выпуклость направленная вверх.

- выпуклость направленная вниз.

Пример 5. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции

Решение.

- вертикальная асимптота.

- горизонтальная асимптота

- функция нечетная

Точки пересечения с осями:

с ох, у=0 – нет точек, с оу, х=0 – нет точек.

Точки экстремума:

- точки экстремума,

-экстремумы функции.

Точки перегиба:

- точка перегиба.