ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС

Пуассоновский процесс можно рассматривать с различных точек зрения, и здесь мы рассмотрим его в качестве прототипа всех процессов из этой главы. Последующий вывод распределения Пуассона наилучшим образом подходит для наших обобщений, однако он никоим образом не является лучшим и в других контекстах.

В качестве эмпирических предпосылок возьмем такие случайные события, как распад частиц, поступающие телефонные вызовы, расщепление хромосом под воздействием вредной радиации. Предполагается, что все наблюдаемые события однотипны, и мы интересуемся полным числом событий, происшедших в течение произвольного интервала времени длины . Каждое событие представляется точкой на оси времени, и поэтому мы в действительности рассматриваем некоторые случайные размещения точек на прямой. Лежащие в основе нашей математической модели физические предположения состоят в том, что силы и воздействия, управляемые процессом, остаются постоянными, так, что вероятность любого отдельного события одна и та же для всех интервалов времени продолжительности и не зависит от прошлого развития процесса. Математически это означает, что наш процесс является однородным по времени марковским процессом. Выведем основные вероятности

Чтобы ввести понятия, подходящие и для других процессов из этой главы, мы выберем начало отсчета времени и будем говорить, что в момент времени система находится в состоянии , если между 0 и произошло ровно скачков функции . Тогда равняется вероятности состояния в момент , однако может быть также описана как вероятность перехода из произвольного состояния в произвольный момент времени в состояние к моменту . Теперь наше нестрогое описание процесса мы преобразуем в свойства вероятностей .

Здесь обязательно дать рисунки с точками на интервале [0, 1] с последовательным уменьшением h.

Разобьем временной интервал единичной длины на подинтервалов длины . Вероятность скачка внутри любого из этих подинтервалов равна , и поэтому математическое ожидание числа интервалов, содержащих скачки, равно . Интуитивно представляется, что при это число должно стремиться к математическому ожиданию числа скачков внутри произвольного интервала времени единичной длины, и поэтому естественно предположить, что существует число такое, что

. (2)

Физическая картина процесса требует также, чтобы скачок обязательно приводил из состояния в соседнее состояние , и отсюда вытекает, что математическое ожидание числа подынтервалов (длины ), содержащих более чем один скачок, должно стремиться к 0. Поэтому мы должны предположить, что при

. (3)

Чтобы окончательно сформулировать постулаты, запишем (2) в виде , где (как обычно) обозначает величину, по порядку меньшую чем . (Точнее говоря, означает такую величину, что при ). С учетом этого (3) эквивалентно соотношению . Сформулируем теперь следующие постулаты.

Постулаты пуассоновского процесса. Процесс начинается в момент времени 0 в состоянии ( ). Непосредственный переход из состояния возможен только в состояние ( ). Каково бы ни было состояние процесса в момент времени , (условная) вероятность скачка внутри последующего короткого интервала времени между и равна , тогда как (условная) вероятность наличия в нем более чем одного скачка есть .

Наши постулаты носят чисто аналитический характер, и их достаточно, чтобы показать, что мы должны иметь

. (4)

Для доказательства этого возьмем сперва и рассмотрим событие, состоящее в том, что в момент времени система находится в состоянии . Вероятность этого события равна , и осуществиться оно может тремя взаимоисключающими способами.

Во-первых, в момент времени система может находиться в состоянии , и между и не произойдет ни одного скачка. Вероятность этой возможности равна

Вторая возможность состоит в том, что в момент времени система находится в состоянии и между и происходит в точности один скачок. Вероятность этого равна