Системы координат и высот, применяемые в геодезии

Координатами называют числа, определяющие положение точки земной поверхности относительно исходных линий или поверхностей. В инженерной геодезии наибольшее применение получили системы географических, прямоугольных и полярных координат, а также системы высот.

Система географических координат. Географические координаты могут быть геодезическими и астрономическими. Г е о д е з и ч е с к и е координаты определяют положение точки на поверхности референц-эллипсоида. В этой системе координатами являются широта и долгота точки, а исходными линиями – меридианы и параллели (рисунок 2.2).

Меридианами называются линии пересечения поверхности референц-эллипсоида плоскостями, проходящими через его малую ось, а параллелями – линии пересечения плоскостями, перпендикулярными к малой оси.

Параллель, плоскость которой проходит через центр эллипсоида называется экватором. За начальный меридиан принят Гринвичский меридиан, проходящий через Гринвичскую обсерваторию в окрестностях Лондона.

Геодезической долготой (L) называется двугранный угол, составленный плоскостью начального меридиана и меридиана данной точки М. Долготы отсчитываются от начального меридиана на восток и на запад от 0 до 180^о. Восточная долгота обозначается со знаком „плюс“, а западная – со знаком „минус“.

Рисунок 2.2 – Географическая система координат

Широтой точки (В) называется угол между нормалью (отвесной линией) данной точки М и плоскостью экватора. Широты отсчитываются от плоскости экватора к северу от 0 до +90^о и к югу от 0 до –90^о. На экваторе широта точки равна 0^о, а на Северном полюсе +90^о.

Если широты и долготы точки отнесены к поверхности геоида, то они называются а с т р о н о м и ч е с к и м и координатами и обозначаются: φ – широта и λ – долгота. Астрономические координаты могут быть определены из астрономических наблюдений.

При составлении планов и карт, а также при пользовании ими удобно применять не географические, а плоские прямоугольные системы координат.

Система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера. Данную систему используют при крупномасштабном изображении значительных частей земной поверхности, следовательно, и при решении задач, связанных с проектированием строительных комплексов.

В проекции Гаусса-Крюгера обеспечивается сохранение подобного изображения фигур (контуров местности) при переходе с поверхности земного эллипсоида на плоскость. Возникающие при этом искажения в размерах фигур достаточно малы и легко учитываются.

В этой системе поверхность земного эллипсоида разграничивают меридианами через 6 или 3^о по долготе на зоны. Нумерацию зон ведут от нулевого (Гринвичского) меридиана на восток. Число зон с долготой 6^о составляет 60, а с долготой 3^о – 120. Земной эллипсоид вписывают в цилиндр так, чтобы плоскость экватора совместилась с осью цилиндра (рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 – Зональная система прямоугольных координат Гаусса-Крюгера

Каждая зона из центра Земли проектируется на боковую поверхность цилиндра. Затем боковую поверхность цилиндра разворачивают в плоскость, разрезая ее по образующим, проходящим через полюса Земли. На полученном изображении средние (осевые) меридианы зон и экватор остаются без искажений и изображаются прямыми линиями. Остальные меридианы и параллели изображаются кривыми. Искажения размеров контуров возрастают по мере удаления от осевого меридиана к краям зоны. Например, линия длиной d при переходе с поверхности земного эллипсоида на плоскость получит искажение

где y_т = (y₁ + y₂)/2 – среднее значение из ординат начальной y₁ и конечной y₂

точек линии;

R – радиус Земли.

На краях шестиградусных зон относительные искажения могут достигать ∆d / d = 1 / 1500, а в трехградусных – ∆d / d = 1 / 6000.

За начало отсчета координат в каждой зоне принимают точку пересечения осевого меридиана зоны и экватора. При этом осевой меридиан является осью абсцисс (x), а экватор – осью ординат (y). Координатами любой точки M будут являться длины перпендикуляров, опущенные из точки М на оси координат.

Если провести в каждой зоне линии, параллельные оси ординат и абсцисс с интервалом в 1 км, то получится так называемая километровая сетка, которую строят на всех топографических картах. Для территории СНГ, расположенной в северном полушарии, абсциссы всегда положительны. Для того, чтобы и ординаты были положительны, начало координат в зоне смещают на запад на 500 км. В этом случае все точки к востоку и западу от осевого меридиана будут иметь положительные ординаты, которые называются преобразованными.

Выбор ширины зоны (6 или 3^о) зависит от точности проектирования строительного комплекса. Если для проектирования нужны топографические материалы масштаба 1:10000 и меньше, то применяют шестиградусные зоны, а для более крупных масштабов – трехградусные.

Местная система плоских прямоугольных координат. Эту систему координат применяют для определения координат точек, на небольших участках земной поверхности принимаемых за плоскость (не более 20 х 20 км).

На плоскости берутся две взаимно-перпендикулярные линии, которые называются о с я м и к о о р д и н а т: ось абсцисс XX и ось ординат YY (рисунок 2.4). Точка пересечения их О служит началом координат.

Направление оси абсцисс обычно принимают совпадающим с направлением меридиана. Координатами любой точки М будут являться длины перпендикуляров, опущенных из точки М на оси координат. Счет четвертей ведется от первой до четвертой по ходу часовой стрелки.

графических съемках местности или при разбивочных работах в строительстве.

За начало координат в данной системе принимают точку О местности (рисунок 2.5), которую называют п о л ю с о м. За начальную координатную линию принимают п о л я р н у ю о с ь ОА, расположенную на местности произвольно или вдоль известной стороны. Полярными координатами любой точки М местности будут являться п о л я р н ы й у г о л (β) отсчитываемый от полярной стороны по ходу часовой стрелки и п о л я р н о е р а с с т о я н и е ОМ = d, определяемое как радиус-вектор.

Система прямоугольных пространственных координат. В последнее время в связи с применением спутниковых навигационных систем в геодезии начали применять систему прямоугольных пространственных координат (X, Y, Z). Начало ее находится в центре О земного эллипсоида, ось Z располагается вдоль полярной оси и направлена на Северный полюс Земли, ось X – в точку пересечения Гринвичского меридиана с экватором, а ось Y перпендикулярна оси X в плоскости экватора (рисунок 2.6).

Эта система используется для определения положения искусственных спутников Земли и ракет в трехмерной и космической геодезии. Сущность ее сводится к обработке геодезических измерений без проектирования их на уровенную поверхность Земли. Полученная система координат (OXYZ) участвует в суточном вращении Земли, оставаясь неподвижной пространственная система относительно точек земной поверхности, и по тому удобна для определения положения объектов земной поверхности.

Система высот. Для определения положения точек на физической поверхности Земли, кроме плоских прямоугольных координат X и Y, называемых плановыми, нужно знать еще третью координату, характеризующую отстояние точки земной поверхности от начальной поверхности. Расстояние Н от точки А земной поверхности по отвесной линии до начальной поверхности называют в ы с о т о й т о ч к и А (см. рисунок 2.7). За начальную поверхность для определения высот в геодезии принимают в качестве основной уровенную поверхность (поверхность геоида), которую называют также уровнем моря.

В странах СНГ и Республике Беларусь принята Балтийская система высот, в которой все высоты отсчитываются от среднего уровня воды в Балтийском море и соответствующему нулю Кронштадского футштока. Нуль Кронштадского футштока представляет собой черту на медной доске, зацементированной в гранитный устой моста. Чертой на футштоке зафиксирован уровень воды в Финском заливе, выведенный из многолетних наблюдений. Высоты, отсчитываемые от уровня Балтийского моря, называют абсолютными.

Если за начало отсчета принимают любую другую поверхность, то высоты, отсчитываемые от этой поверхности, называют относительными. Например, в строительстве часто используют относительную систему высот при возведении зданий и сооружений, принимая за отсчетную поверхность уровенную поверхность, совпадающую с уровнем чистого пола первого этажа здания или цеха промышленного предприятия. Высоты, отсчитываемые от этого уровня, называют условными.

Численное значение абсолютной или относительной (условной) высоты называют отметкой.

На рисунке 2.7 Н_А и Н_В – абсолютные высоты точек А и В земной поверхности, а Н'_А и Н'_В – относительные высоты точек А и В.

Разность высот двух точек называют превышением и обозначают h. Превышение может быть положительным, если точка В выше точки А, или отрицательным, если точка В ниже точки А. Для линии АВ превышение

h_AB = Н_В – Н_А = Н'_В – Н'_А и называется прямым превышением, а для линии ВА – h_BA = Н_А – Н_В = Н'_А – Н'_В и называется обратным превышением. Очевидно, что h_AB = –h_BA т. е. прямое и обратное превышение одной и той же линии равны по величине и обратны по знаку.