Теоретическое введение. Колебательным движением называется процесс, при котором система, многократно отклоняясь от положения равновесия

Колебательным движением называется процесс, при котором система, многократно отклоняясь от положения равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему.

Существует общность закономерностей большого разнообразия колебательных процессов, поэтому все они могут быть сведены к совокупности простейших колебаний – гармонических.

Гармоническим колебательным движением называется такое колебательное движение, при котором колеблющаяся величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Основные характеристики колебательных процессов можно рассмотреть на примере механических колебаний материальной точки.

Представим себе материальную точку М, равномерно вращающуюся по окружности радиуса А с угловой скоростью ω (рис.12.1). Тогда точка М_х – проекция точки М на ось х – будет совершать периодические колебания вдоль оси х. Смещение колеблющейся точки от положения равновесия вдоль оси х определяется по закону:

, (12.1)

где А – амплитуда колебаний (абсолютное значение максимального смещения), – фаза колебаний, которая определяет угловое смещение точки М в любой момент времени, α₀ – начальная фаза, – круговая (циклическая) частота, равная

; (12.2)

ν – частота колебаний (число полных колебаний в единицу времени, , – число колебаний за время t), – период колебаний (время совершения одного полного колебания). Выражение (12.1) – кинематическое уравнение гармонического колебательного движения.

Скорость колеблющейся материальной точки получим, продифференцировав (12.1) по времени:

. (12.3)

Продифференцировав (12.3), получим ускорение а:

. (12.4)

Учитывая (12.1), имеем: , или:

. (12.5)

Выражение (12.5) описывает гармонические колебания величины x и называется дифференциальным уравнением гармонического осциллятора. Его решением является гармоническая функция (12.1). Если вторая производная по времени какой-либо физической величины (не обязательно смещения) пропорциональна самой величине с противоположным знаком, то данная физическая величина изменяется со временем по гармоническому закону.

Любое тело (рис. 12.2), подвешенное в поле силы тяжести так, что точка подвеса О не совпадает с центром тяжести С, называется физическим маятником. Пусть отклонение маятника от положения равновесия характеризуется углом φ. При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращающий момент силы , стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Его величина , где m – масса маятника; – расстояние от центра тяжести маятника до точки подвеса, – плечо силы тяжести (кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения).

Направления вращающего момента и углового перемещения противоположны (момент силы возвращает маятник к положению равновесия), поэтому в проекциях на ось вращения

. (12.6)

По второму закону Ньютона для вращательного движения маятника:

, (12.7)

где – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса; e – угловое ускорение маятника, равное второй производной угла поворота: .

Из уравнений (12.6) и (12.7) имеем:

, или . (12.8)

При малых углах , и уравнение (12.8) будет иметь вид:

. (12.9)

Сравнивая (12.9) и (12.5), устанавливаем, что j изменяется по гармоническому закону с круговой частотой ω, причем

, (12.10)

а период колебаний маятника

. (12.11)

Частным случаем физического маятника является маятник математический. Если вся масса маятника сосредоточена в одной точке (например, шарик, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити), то такой маятник называют математическим (рис.12.3). Для математического маятника момент инерции рассчитывается как для материальной точки: , поэтому период его колебаний равен:

. (12.12)

Формулу (12.12) можно получить, непосредственно записав второй закон Ньютона для материальной точки. На шарик, подвешенный на нити (рис.12.3), действуют сила тяжести и сила натяжения нити , тогда

. (12.13)

Сила натяжения нити не имеет касательной составляющей, а проекция силы тяжести для малых углов φ равна , тогда касательное ускорение . Угол отклонения маятника из положения равновесия , где x – отклонение из положения равновесия. Наконец, касательное ускорение – это вторая производная координаты x, тогда

. (12.14)

Отсюда . Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний идентично (12.5), если ; следовательно, (12.12) доказано.

Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, который имеет тот же период колебаний, что и данный физический маятник:

. (12.15)

В лабораторной работе используется физический маятник в виде кольца (рис.12.4) или в виде однородного тонкого стержня (рис.12.5). Момент инерции маятника относительно точки подвеса О можно найти по теореме Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями. Для кольца получим:

. (12.16)

Здесь – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса O, I_C – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс – точку C, r – расстояние между осями. Момент инерции полого (толстостенного) цилиндра или кольца массой m с внутренним радиусом r и наружным R относительно оси, проходящей через центр масс, равен:

, (12.17)

Тогда из (12.16) и (12.17) получаем:

, (12.18)

где и – внешний и внутренний диаметры кольца соответственно. Из (12.11) выразим ускорение свободного падения с учетом, что длина физического маятника равна расстоянию от точки подвеса до центра масс, то есть для кольца , и из (12.18) подставим момент инерции:

,

и окончательно:

. (12.19)

Для стержня по теореме Штейнера получим:

, (12.20)

, (12.21)

L – длина стержня, m – его масса. Можно показать, что для любого маятника приведенная длина l_пр. больше, чем расстояние от центра масс до точки подвеса (длины физического маятника): из (12.15) и (12.20) следует, что

.

Точка О₁, лежащая на прямой ОС на расстоянии l_пр.от точки подвеса маятника (рис.12.5), называется центром качания маятника. Центр качания О₁ и точка подвеса О обладают свойством взаимности: если маятник подвесить так, чтобы его ось качания проходила через точку О₁, то точка О будет совпадать с новым положением центра качания маятника, то есть приведенная длина и период колебаний маятника останутся прежними. Покажем это. По теореме Штейнера момент инерции I₁ маятника относительно оси, проходящей через точку О₁, равен:

. (12.22)

Из (12.20) и (12.22) вычислим :

. (12.23)

Из (12.10) выразим момент инерции маятника и запишем аналогичную формулу для : . Здесь использовано условие, что частота колебаний маятника относительно оси, проходящей через точку О₁, должна быть той же самой, что и для оси, проходящей через точку О. Подставив оба момента инерции в (12.23) получим уравнение:

.

Далее после преобразований: ; и после сокращения на получим: . По определению приведенной длины физического маятника (12.15): , то есть , что и требовалось показать.

Для физического маятника – стержня из (12.15), (12.20) и (12.21):

, или

. (12.24)