Теоретическое введение. Модель 1. Пружинный маятник с безмассовой пружиной

Модель 1. Пружинный маятник с безмассовой пружиной

Рассмотрим свободные гармонические колебания на примере пружинного маятника – груза массой m, подвешенногона пружине с коэффициентом жёсткости k. Массой самой пружины обычно пренебрегают (см. лабораторную работу 1.18).

Пусть длина недеформированной пружины (без груза) равна ; с грузом массой m длина пружины в состоянии равновесия равна l, то есть увеличивается на (рис.11.1). Сила упругости уравновешивается силой тяжести:

. (11.1)

Груз, выведенный из положения равновесия и предоставленный сам себе, начинает колебаться вдоль вертикальной оси. За начало отсчёта удобно принять равновесное положение груза, а ось OX направить вниз, то есть, – это смещение груза из положения равновесия, – его скорость. Изменение длины пружины от первоначального недеформированного состояния будет равно . Энергия системы складывается из потенциальной энергии упругой деформации пружины:

, (11.2)

потенциальной энергии груза в поле силы тяжести:

(11.3)

и кинетической энергии груза:

. (11.4)

Полная механическая энергия системы при отсутствии сил трения (сопротивления среды) сохраняется:

. (11.5)

Продифференцируем (11.5) по времени:

. (11.6)

Поскольку , то после сокращения на получим из (11.6):

, или , (11.7)

так как . С учётом (11.1) получим из (11.7):

. (11.8)

Разделив (11.8) на m, получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

. (11.9)

Решением этого дифференциального уравнения является функция:

, (11.10)

где – частота собственных колебаний маятника с безмассовой пружиной. Период колебаний такого маятника

. (11.11)

Заметим, что наличие поля силы тяжести не влияет на частоту колебаний пружинного маятника; изменяется лишь равновесное положение груза. Так что в дальнейшем потенциальную энергию в поле силы тяжести можно не учитывать.

Модель 2. Пружинный маятник с массивной пружиной

В некоторых случаях массой пружины пренебрегать нельзя. Найдём кинетическую энергию колеблющейся пружины. Пусть один конец однородной пружины массой M закреплен, а другой движется со скоростью υ (рис.11.2). Если растяжение равномерное, то скорость υ₁ малого участка пружины длиной dx₁ с координатой x₁ равна:

, (11.12)

где l – длина пружины в состоянии равновесия. Масса участка равна

, (11.13)

а кинетическая энергия

.(11.14)

Проинтегрируем (11.14) по длине пружины:

. (11.15)

Теперь при выводе дифференциального уравнения колебаний маятника учтём энергию E₁. Полная механическая энергия пружинного маятника с массивной пружиной равна ;

. (11.16)

Производная (11.16) по времени равна нулю, так как полная энергия сохраняется:

, или после сокращения на скорость , замены и деления на :

; . (11.17)

Дифференциальное уравнение (11.17) подобно полученному выше (11.9). Упростим модель, считая массу пружины равной нулю, но к массе груза добавим . Это поправочное слагаемое называется присоединенной массой пружины в рассматриваемой задаче.

Запишем решением дифференциального уравнения (11.17):

, (11.18)

где

. (11.19)

Период колебаний равен:

. (11.20)