Лабораторная работа 1-10

Изучение свободных колебаний пружинного маятника

Цель работы:Определение жесткости пружины, определение периода свободных затухающих колебаний, логарифмического декремента затухания, коэффициента затухания.

Теоретическое введение

Колебаниями называются процессы (движения или изменения состояния), в той или иной степени повторяющиеся во времени. В зависимости от физической природы колебательного процесса различают механические колебания (колебания маятников, струн, частей машин и механизмов, давления воздуха), электромагнитные (переменный ток в цепи, колебания напряженностей электрического и магнитного полей) и др. Однако математическое описание колебаний различной физической природы практически одинаково. Механическим колебательным движением называется процесс, при котором система (материальная точка, тело, система тел), многократно отклоняясь от положения равновесия, вновь возвращается к нему. Колебания называются периодическими, если система приходит в положение равновесия через равные промежутки времени. Время одного полного колебания называется периодом.

Свободными (собственными) колебанияминазываются колебания, которые происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему. Они возникают вследствие начального отклонения этой системы от состояния равновесия.

Гармоническиминазываются колебания, при которых колеблющаяся величина х изменяется со временем по закону синуса или косинуса:

, (10.1)

здесь – амплитуда колебаний (максимальное значение колеблющейся величины х), – фаза колебаний, – начальная фаза, ω₀ – круговая (циклическая) частота собственных колебаний, связанная с периодом колебаний Т соотношением:

, (10.2)

ν – частота собственных колебаний (число полных колебаний в единицу времени, ). Для механических колебаний х имеет смысл смещения тела (материальной точки) из положения равновесия. Найдем скорость v и ускорение a колеблющегося тела:

; (10.3)

. (10.4)

Из (10.4) получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

. (10.5)

Отсюда следует, что если вторая производная по времени какой-либо физической величины пропорциональна самой величине с противоположным знаком, то данная физическая величина изменяется со временем по гармоническому закону. Колебательная система будет совершать свободные колебания, если её вывести из положения равновесия и предоставить самой себе. Со свойствами свободных колебаний можно ознакомиться на примере пружинного маятника. Его основными частями являются груз массой m и пружина с коэффициентом жёсткости k (рис.10.1).

Маятник совершает колебания около положения равновесия, двигаясь возвратно-поступательно. В положении равновесия сила тяжести уравновешивается упругой силой:

, (10.6)

где – удлинение пружины под действием груза. Смещение груза из положения равновесия будет характеризоваться координатой x, причем ось x направлена по вертикали вниз, а нуль оси совместим с положением равновесия. При смещении груза из положения равновесия на расстояние, равное x, удлинение пружины станет равным (l₀+x), тогда полная сила, вызывающая колебания маятника и возвращающая его к положению равновесия, примет значение

. (10.7)

Учитывая условие равновесия (10.6), получим

. (10.8)

При малых деформациях эту силу описывает закон Гука. По второму закону Ньютона . В проекциях на ось х:

, (10.9)

или

, (10.10)

где – ускорение, .

Выражение (10.10) совпадает с (10.5), это – дифференциальное уравнение гармонических незатухающих колебаний, а его решение имеет вид:

, (10.11)

где A – амплитуда колебаний, φ₀ – начальная фаза, ω₀ – круговая частота:

. (10.12)

Так как , то период колебаний

. (10.13)

Опыт показывает, что свободные колебания пружинного маятника затухают – амплитуда колебаний груза со временем уменьшается. Причиной затухания колебаний в пружинном маятнике является сила сопротивления среды и связанная с этой силой диссипация энергии – превращение механической энергии колебаний во внутреннюю. Силу сопротивления среды при малых скоростях можно считать пропорциональной скорости движения, а направление её противоположно скорости:

, (10.14)

здесь r – коэффициент сопротивления среды, – скорость движения груза.

В таком случае на маятник действуют две силы – упругая сила (10.8) и сила сопротивления (10.14). По второму закону Ньютона: ; с учетом того, что , получим дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний:

, (10.15)

Здесь приняты следующие обозначения:

, (10.16)

, (10.17)

где β – коэффициент затухания, – циклическая частота собственных колебаний, то есть колебаний системы, если бы затухания не было.

Решением дифференциального уравнения (10.15) при условии малости затухания (то есть если β < ω₀) является функция

, (10.18)

в чем можно убедиться путем подстановки (10.18) в (10.15), предварительно найдя производные. При этом будет получено и выражение для круговой частоты и периода затухающих колебаний:

; . (10.19)

График функции (10.18) приведен на рис.10.2. Если затухание велико (β>ω₀), движение системы не имеет колебательного характера и будет апериодическим (рис.10.3). Этот случай в дальнейшем рассматриваться не будет.

Таким образом, если на тело, кроме силы упругости, действует сила сопротивления среды, то тело будет совершать колебательное (но не гармоническое) движение с частотой, зависящей от массы тела m, жесткости пружины k и коэффициента затухания β, характеризующего силу сопротивления среды. При этом частота ω затухающих колебаний оказывается меньше частоты собственных незатухающих колебаний из-за действия тормозящей силы сопротивления. Амплитуда колебаний будет с течением времени уменьшаться по экспоненциальному закону:

, (10.20)

где – начальная амплитуда колебаний. Быстроту затухания колебаний характеризует логарифмический декремент затуханияλ. Логарифмический декремент затухания – это натуральный логарифм отношения амплитуд двух следующих друг за другом колебаний, то есть амплитуд колебаний в моменты времени t и (t+T):

, (10.21)

;

. (10.22)

Или иначе:

, (10.23)

где колебания с номерами n и (n+1) отстоят друг от друга по времени на один период. Если два колебания отстоят друг от друга по времени на N периодов (t=NT), то отношение их амплитуд:

,

откуда следует, что коэффициент затухания

. (10.24)

Еще одна важная физическая величина характеризует затухание колебаний – добротность:

. (10.25)

Можно показать, что добротность обратно пропорциональна относительной убыли энергии колебаний за время, равное одному периоду:

. (10.26)