Применение теории графов для моделирования электрических сетей

Электрические сети современных ЭЭС насчитывают сотни и даже тысячи ЛЭП и трансформаторов. Расчеты режимов сложных схем электрических сетей требуют специальных моделей представления схем и компактной записи уравнений. Такими моделями являются графы и матрицы.

Линии, трансформаторы и другие элементы электрической сети представляются в расчетах своими схемами замещения, состоящими из ветвей с сопротивлениями и проводимостями. Все шины электрических станций и подстанций являются узловыми точками сети. Количество этих узловых точек или узлов схемы сети обозначим буквой n, а количество ветвей, соединяющих эти шины, m. Если сеть не содержит замкнутых контуров, то количество узлов и ветвей различается на 1:
n = m + 1. При наличии контуров n = m + 1 – k, где k – количество независимых контуров.

Графы являются топологическими моделями схем электрических цепей.

По сути, изображение электрической схемы в виде графа повторяет графическое изображение схемы, но без элементов, из которых состоит электрическая цепь. Узлы (вершины графа) соединяются непрерывными линиями (ребрами), на которых при необходимости указывается положительное направление тока или потока мощности.

Элементами ЭЭС, которые моделируются ребрами графа, являются ЛЭП, трансформаторы, реакторы, батареи конденсаторов и др. Как правило, все они представляются П-образными схемами замещения и поэтому имеют элемент связи между двумя граничными узлами – продольная ветвь, и элементы, связывающие узлы с нейтральной точкой системы N, – поперечные ветви (рис. 3.4).

Рис. 3.4. П-образная схема замещения (а) и ее граф (б)

Для ЛЭП:

, (3.4)

(3.5)

Обычно Z = (r₀ + jx0)l и .

Для трансформатора:

(3.6)

при k_т > 1. Если k_т = 1, то из (3.6) получается Г-образная схема замещения трансформатора.

Для реакторов и батарей конденсаторов, включенных в виде продольных элементов сети, параметры схемы замещения: Z = jX_р и
Z = jX_c. Y₁ = Y₂ = 0 (Y₁ или Y₂ может быть отлично от нуля и моделировать потери активной мощности в реакторе или батарее конденсаторов). В случае их включения в виде поперечных ветвей: Z = 0, а Y₁ и Y₂ представляются одной поперечной ветвью – Y шунта: и . Аналогично могут представляться своими схемами замещения электрические нагрузки .

Рассмотрим пример схемы электрической сети, состоящей из ЛЭП и трансформатора (рис. 3.5, а). Ее схема замещения есть две соединенные между собой П-образные схемы замещения – ЛЭП и трансформатора, а граф будет состоять из двух графов П-образных схем (рис. 3.5, б).

Рис. 3.5. Схема простой электрической сети (а) и ее граф (б)

Для более сложных схем, например, схемы на рис. 3.6, а, удобно ввести в рассмотрение нейтральную плоскость в сети и рассматривать узлы графа сети «висящими» над нейтральной плоскостью N и соединенными с ней поперечными ветвями (рис. 3.6, б).

Так как в общем случае каждая вершина графа инцидентна хотя бы одному ребру, связанному с вершиной (плоскостью) N, то при изображении графа эти ребра не изображаются (рис. 3.7).

Для моделирования топологии схем электрических сетей используют матричные модели, отражающие свойства графов. Это матрицы инциденций и смежности. В практических расчетах более удобной является компактная форма записи, например в виде перечисления ребер графа. Так, для графа рис. 3.7 массив имен ребер L может быть записан в следующем виде:

(3.7)

В первой строке массива L указывается номер (имя) начального узла, а во второй того же столбца – номер (имя) конечного узла. Пара номеров узлов в столбце образует имя ветви, например, для ветви b это 2 – 3.

Рис. 3.6. Схема электрической сети из восьми узлов и десяти
ветвей (а) и ее граф (б)

Рис. 3.7. Граф сети без изображения ребер, связанных
с нейтральной плоскостью

Рис. 3.8. Многослойный граф

В некоторых случаях можно использовать многослойные графы, в которых сеть каждого напряжения располагается в отдельном слое. Получается, что в горизонтальных слоях находятся ветви, моделирующие линии электропередачи, а между ними вертикально изображаются трансформаторные связи (рис. 3.8). Таких слоев может быть столько, сколько ступеней номинального напряжения имеется в сети.