Нелинейные уравнения установившегося режима

Так как во многих случаях расчеты ведутся при заданных мощностях нагрузок и генерации, то их следует ввести в уравнения установившегося режима.

Мощность в трехфазной сети в симметричных режимах выражается суммарной мощностью всех трех фаз:

(3.41)

В матричной форме это выражение можно записать, используя операцию диагонализации матрицы U. Матрица diag{U} есть квадратная матрица, в которой элементы матрицы U расположены по главной диагонали, а все остальные элементы равны нулю. Тогда

(3.42)

Уравнение установившегося режима записано для фазных токов и напряжений. Умножим обе части этого уравнения на и применим к величинам этого уравнения операцию сопряжения, получим

(3.43)

В левой части этого уравнения после умножения на напряжения стали линейными.

Умножим левую и правую части уравнения (3.43) слева на матрицу diag{U}, получим

(3.44)

Система уравнений (3.44) является системой нелинейных уравнений установившегося режима. В зависимости от формы представления комплексных величин применяют две основные формы этой системы уравнений.

Вначале рассмотрим алгебраическую форму записи. Для i-го узла имеем:

(3.45)

После перемножения двучленов и разделения уравнения на два уравнения с вещественными величинами получим систему 2(n – 1) алгебраических уравнений

(3.46)

Здесь i = 1,…, n – 1.

Тригонометрическая форма нелинейных уравнений установившегося режима может быть получена, если комплексные величины в уравнении (3.44) записать в виде

(3.47)

Тогда

(3.48)

Уравнение (3.48) в тригонометрической форме запишется как

, (3.49)

, (3.50)

и после разделения на два вещественных уравнения

(3.51)

Обычно вместо угла y_ij используют дополняющий до 90° угол a_ij. a_ij = 90 - y_ij, y_ij = 90 - a_ij.

Тогда cos(d_i – d_j – y_ij) = cos(d_i – d_j – 90° + a_ij), а с учетом четности функции косинус cos(d_i – d_j – 90°+ a_ij) = cos(90° – d_i + d_j – a_ij). Имея
в виду, что cos(90° – b) = sin(b), получим cos(90° – d_i + d_j – a_ij) =
= sin(d_i – d_j + a_ij).

Аналогично sin(d_i – d_j – y_ij) = sin(d_i – d_j – 90 + a_ij) = –sin(90° – d_i +
+ d_j – a_ij), в силу нечетности функции синус. Так как sin(90° – b) =
= cos(b), получим –sin(90° – d_i + d_j – a_ij) = –cos(d_i – d_j + a_ij). Подставляя полученные соотношения в (3.51), будем иметь:

(3.52)

В полученной системе нелинейных уравнений установившегося режима искомыми переменными являются модули и фазовые углы напряжений, в то время как в уравнениях (3.46) неизвестными являются вещественная и мнимая составляющие напряжений.

Пример 3. Рассчитаем напряжения в узлах и потоки мощности в ветвях схемы сети, граф которой изображен на рис. 3.10. Исходные данные для расчета и расчет представлены в системе Mathcad.