Метод ЭЙЛЕРА - КОШИ

В основе метода ломаных Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, к тому же этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.

Пусть дано уравнение

(9)

с начальным условием

. (10)

Выбрав достаточно малый шаг h, построим, начиная с точки х₀ , систему равностоящих точек . Вместо искомой интегральной кривой на первом отрезке рассмотрим отрезок касательной к ней в точке с уравнением

При из уравнения касательной получаем: , откуда видно, что приращение значения функции на первом шаге имеет вид: .

Аналогично, при : , т. е. получается из

добавлением приращения

Таким образом, получение таблицы значений искомой функции по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул:

(11)

Существуют различные уточнения метода Эйлера, повышающие его точность. Модификации метода обычно направлены на то, чтобы более точно определить направление перехода из точки в точку . Метод Эйлера - Коши, например, рекомендует следующий порядок вычислений:

(12)

Геометрически это означает, что мы определяем направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке , а в качестве окончательного берем среднее этих направлений.

В соответствии с методом Эйлера – Коши запишем итерационные уравнения нахождения значения скорости ν_i+1 в следующий момент времени из предыдущего ν_i (обозначим – шаг по времени: ). Обозначим правую часть дифференциального уравнения для скорости в системе уравнений (8), записанного в дискретном виде, в момент времени через:

(13)

Тогда в момент времени согласно методу Эйлера – Коши запишем формулы:

(14)

Тогда, подставляя правую часть (13) в формулы (14), в итоге получим:

(15)

Для ускорения процесса работы над задачей целесообразно вместо составления программы на алгоритмическом языке воспользоваться готовой прикладной программой (например, табличным процессором MS Excel).