Вычисление ускорения точки при естественном способе задания ее движения

(Изучить самостоятельно)

Используя определение вектора ускорения (1.6) и формулу (2.1), получаем:

         (а)

Вычислим вектор . Прежде всего, найдем направление этого вектора. Рассмотрим тождество

Дифференцируя это тождество по скалярному аргументу , получаем:

или

Но в общем случае вектор изменяет со временем свое направление, так что Следовательно, скалярное произведение обратилось в нуль потому, что сомножители взаимно перпендикулярны.

Таким образом, вектор перпендикулярен касательной, т.е. направлен по нормали к траектории. Ранее было показано, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости. Следовательно, речь идет о главной нормали. Таким образом,

(б)

Остается вычислить

Пусть и две близкие точки траектории. В точке проведем главную нормаль В точке построим нормаль , пересекающую в точке главную нормаль, построенную в точке (если траектория плоская кривая, то также будет главной нормалью). Угол между двумя близкими касательными, угол , называется углом смежности. В силу близости точек и угол между нормалями и приближенно равен углу (для плоской кривой это равенство точное). В силу малости дугу можно считать дугой окружности радиуса . Тогда Из равнобедренного треугольника определяем

Тогда

где — предельное значение радиуса окружности, дуга которой в бесконечно малой окрестности точки совпадает с дугой траектории. Эта окружность расположена в соприкасающейся плоскости, построенной для точки . Ее центр лежит на главной нормали и называется центром кривизны траектории в точке . Ее радиус называется радиусом кривизны траектории в точке .

Окончательно получаем: