2 страница. Здесь EQ — равномерная освещенность, которую создавал бы только один вторичный источник.

(1)

Здесь E_Q — равномерная освещенность, которую создавал бы только один вторичный источник.

В рассматриваемом случае каждая спектральная линия первич­ного источника дает интерференционную картину, распределение освещенности в которой описывается формулой (1) с соответствую­щим значением частоты со, или со₂. Поэтому полное распределение освещенности, получающееся в результате наложения двух интер­ференционных картин от двух некогерентных источников, имеет следующий вид:

со,/

Е(1) = £,(/) + Е₂(1) = 2Е₀₁ И + cos -Ч + 2£₀2 1 + cos

со₂Л

с I

(2)

Поскольку спектральные линии имеют одинаковую интенсив-

Е₀ и формулу (2) можно преобразовать с по-

мощью формулы для суммы косинусов двух углов:

Е(1) = 4Е₀

, . Дсо/ со/

1 + COS —— COS —

2с с

(3)

где со = (ш_{ + со₂)/2 — средняя частота, а Дсо = о ность частот спектральных линий. Если частоты ш_х и со₂ близки, так

Рис. 218. Интерференционная картина в случае, когда источник света излучает две близкие спектральные линии

что Дсо<*:со, то резкость интерференционных полос медленно меня­ется с изменением разности хода / и распределение освещенности в зависимости от / имеет вид, показанный на рис. 218.

Расстояние между соседними полосами определяется множите­лем cos (со//с) и соответствует разности хода Д/, равной одной дли­не волны к: шАЦс = 2л, откуда Д/ = 2лс/ш = сТ = к. Период изме­нения резкости полос определяется множителем cos (Дсо //2с) и со­ответствует разности хода Д/, равной произведению длины волны к на отношение к/Ак. Действительно, как видно из рис. 218, период изменения резкости полос равен половине периода cos (Дсо //2с), поэтому cos (Дсо Д//2с) = л;, откуда Д/ = к²/Ак.

Опыты с квазимонохроматическим светом. Как можно наблюдать на опыте такую интерференционную картину с периодическим из­менением резкости полос? Так как для этого необходима разность

хода, равная очень большому числу длин волн, то наиболее удобно использовать интерферометр Майкельсона с подвижным зеркалом, схема которого приведена на рис. 198.

Если плечи интерферометра почти равны друг другу, то наблю­даемые полосы соответствуют разностям хода, равным небольшому числу длин волн. При этом, как видно из рис. 218, полосы имеют наибольшую резкость — почти равную нулю освещенность на месте темных полос. При перемещении зеркала разность хода / возраста­ет, а резкость интерференционных полос при этом постепенно убы­вает, так что при / порядка Х²/2АХ полосы пропадают совсем. При дальнейшем перемещении зеркала полосы появляются снова, и при / = Л²/А л их резкость опять становится максимальной. Затем рез­кость снова убывает, и т. д.

Из изложенного ясно, что, наблюдая за изменением резкости ин­терференционных полос в зависимости от разности хода, можно по­лучить информацию о спектральном составе исследуемого света.

Первые наблюдения такого рода были выполнены А. Физо в се­редине XIX века. В использованном им интерферометре появлялись кольца Ньютона при освещении желтым светом натриевой лампы. Интерференционные полосы в данном случае имеют вид колец, так

. -------------------------------- как разность хода волн, отразившихся

2/У~-~——-— от нижней поверхности линзы и верх-

[--------------------------------- I ней поверхности стеклянной пластин-

Рис. 219. к опыту Физо с кольца- ^ки (рис. 219), одинакова вдоль окруж-
ми Ньютона ностей. Если линзу постепенно отво-

дить от пластинки, то та же самая разность хода будет получаться на окружности меньшего радиуса, поэтому интерференционные кольца будут стягиваться к центру.

Физо нашел, что при контакте линзы с пластинкой кольца были резкими. При отодвигании линзы от пластинки резкость колец убы­вала, и при прохождении примерно 490-го кольца интерференцион­ная картина исчезала. При дальнейшем увеличении расстояния кольца появлялись вновь и приобретали приблизительно первона­чальную резкость при стягивании примерно 980-го кольца. Физо проследил периодическое изменение резкости полос в 52 периодах из 980 колец каждый! Отсюда он сделал правильный вывод о том, что натриевый свет состоит из двух спектральных линий почти рав­ной интенсивности. Глядя на рис. 218, легко сообразить, что резуль­таты опытов Физо дают для отношения Х/АХ у желтого дублета на­трия значение, равное 980.

Длина и время когерентности. Рассмотренный пример света, со­стоящего из двух близких по частоте монохроматических волн, по­зволяет глубже проанализировать вопрос об использовавшейся в предыдущих параграфах монохроматической идеализации. Спектр испускания достаточно разреженных газов состоит из резких ярких линий, разделенных темными промежутками. Выделим свет одной из этих почти монохроматических линий и используем его в интер­ферометре Майкельсона. Мы увидим, что интерференционные поло­сы будут резкими, если длины путей обоих интерферирующих пуч­ков примерно одинаковы. Если отодвигать одно из зеркал так, чтобы разность хода пучков увеличивалась, то резкость интерфе­ренционных полос будет постепенно уменьшаться, и в конце концов они исчезнут.

Такое исчезновение интерференционных полос легко объяснить, если считать, что свет излучается отдельными цугами, содержащи­ми конечное число длин волн. Допустим для простоты, что все вол­новые цуги одинаковы. Каждый цуг, попадая в интерферометр, де­лится на два цуга равной длины. Если разность хода в плечах ин­терферометра больше этой длины, один из цугов минует точку наблюдения раньше, чем другой дойдет до нее, и интерференция наблюдаться не будет.

Естественно ввести понятие длины когерентности как наиболь­шей разности хода интерферирующих лучей, при которой еще воз­можно наблюдение интерференционной картины. Длина когерентно­сти характеризует степень отклонения рассматриваемого излучения от монохроматической идеализации и равна длине отдельных волно­вых цугов. Длину цуга волн можно характеризовать промежутком времени, в течение которого он проходит через точку наблюдения. Этот промежуток времени х называется временем когерентности.

• Почему источник, излучающий свет двух узких спектральных линий, можно рассматривать как два независимых монохроматических источ­ника, расположенных в том же месте?

• Опишите качественно вид интерференционных полос в случае источни­ка, излучающего свет двух близких спектральных линий. При какой разности хода полосы исчезают?

• Каким образом Физо установил на опыте, что желтый свет натрия со­стоит из двух близких спектральных линий?

• Что такое длина и время когерентности квазимонохроматического света? Как связаны эти величины с длиной волновых цугов?

• Как с помощью представления о волновых цугах объясняется исчезно­вение интерференционных полос при больших разностях хода?

д Время когерентности и ширина спектра. Исчезновение ин­терференционных полос при увеличении разности хода можно объяснить и на другом языке, рассматривая спектральный состав излучения. Строго монохроматической волне (бесконечной сину­соиде) соответствует единственная частота, т. е. бесконечно уз­кая спектральная линия. Будем считать, что излучению, состоя­щему из волновых цугов конечной протяженности, соответствует спектральная линия некоторой конечной ширины. Другими сло­вами, такое излучение можно рассматривать как совокупность отдельных монохроматических волн, частоты которых сплошь за­полняют некоторый интервал Дш, малый по сравнению со сред­ней частотой ш. Каждая монохроматическая волна из этой сово­купности создает в интерферометре свою интерференционную картину, и полное распределение освещенности определяется на­ложением этих картин.

При малых разностях хода интерферирующих лучей (порядка нескольких длин волн) положение интерференционных полос в картинах, создаваемых отдельными монохроматическими состав­ляющими, будет практически совпадающим, и полосы суммарной картины будут отчетливыми. По мере увеличения разности хода отдельные интерференционные картины будут смещаться относи­тельно друг друга, и в конце концов суммарная картина окажет­ся полностью размытой.

Оценить разность хода, при которой происходит исчезновение интерференционных полос, можно следующим образом. Мысленно разобьем весь спектральный интервал Дш, занимаемый рассмат­риваемым излучением, на пары монохроматических компонент, отстоящих друг от друга на А си/2. Распределение освещенности от каждой пары дается формулой (3), в которой Дш следует теперь заменить на Дш/2. Оно показано на рис. 218. Как видно из этого рисунка, полосы пропадают при такой разности хода /, когда ар­гумент первого косинуса в (3) становится равным л/2. Заменяя Дш на Дш/2, получаем

Дш//4с = л/2. (4)

Условие исчезновения полос для всех пар монохроматических компонент одинаково. Поэтому при разности хода /, даваемой со­отношением (4), происходит размытие полной интерференцион­ной картины.

Теперь мы можем сопоставить две возможные интерпретации размывания интерференционных полос при достаточно большой разности хода — в рамках представлений о волновых цугах ко­нечной протяженности и о суперпозиции монохроматических компонент, распределенных в некотором интервале частот. Так как при этом максимальная разность хода / равна длине цуга, то отношение 1/с в соотношении (4) есть время когерентности т. Переходя для удобства от циклической частоты ш к частоте v = ш/2л, переписываем (4) в виде

tAv«1. (5)

Соотношение (5) следует рассматривать не как точное равен­ство, а только как оценку эффективного интервала частот Av, границы которого в известной мере являются условными.

Мы видим, что чем больше длительность волновых цугов т, тем более узок интервал частот Av, в котором спектральные компоненты этого излучения имеют заметную величину. Иначе

говоря, ширина спектральной линии излучения обратно пропор­циональна времени когерентности.

Приведем оценки допустимых значений разности хода /~Х²/ДХ при наблюдении интерференции света с использовани­ем разных источников. Для белого солнечного света или света, излучаемого раскаленными телами, интервал длин волн в спект­ре АХ одного порядка со средней длиной волны. Поэтому наблю­дать интерференцию можно только при очень малых разностях хода, равных небольшому числу длин волн.

Если воспользоваться излучением газоразрядной плазмы низ­кого давления, то при выделении какой-либо одной спектральной линии допустимая разность хода может быть значительно боль­ше. Например, для красной линии кадмия с длиной волны X = 643,8 нм, ширина которой АХ составляет всего лишь 0,0013 нм, допустимая разность хода / превышает 500 000 длин волн, т. е. 30 см. А ширина линии излучения лазера может быть сделана настолько малой, что удается наблюдать интерференцию при разности хода в несколько километров! ▲

• Как объясняется исчезновение интерференционных полос при больших разностях хода на основе представлений о конечной ширине частотного спектра квазимонохроматического излучения?

• Как связано время когерентности квазимонохроматического излучения с его спектральным составом?

• Оцените ширину спектральной линии излучения, с помощью которого можно было бы наблюдать интерференцию при разности хода в 1 м.

• Почему в интерферометре Майкельсона можно наблюдать интерферен­цию света только при одинаковой длине плеч? При какой максимальной разности хода можно наблюдать интерференционные полосы, если ис­точник света излучает спектральную линию шириной ДХ?

§ 35. Физические принципы голографии

Голография — это способ записи и последующего восстановления световых волн, основанный на явлениях интерференции когерент­ных пучков света.

Разглядывая обычную фотографию, бессмысленно пытаться за­глянуть за предметы, находящиеся на переднем плане. Это и есте­ственно, так как фотография представляет собой плоское изображе­ние объемной картины, полученное из определенной точки. В отли­чие от обычной фотографии, голография позволяет записать и восстановить не двумерное распределение освещенности в плоскости снимка, а рассеянную предметом световую волну со всеми ее харак­теристиками — амплитудой, фазой, длиной волны.

Само слово «голография» в буквальном переводе с греческого оз­начает «полная запись». Восстановленные голограммой световые волны, попадая в глаз наблюдателя, создают полную иллюзию ре­альности наблюдаемых предметов — их объемность и возможность изменения ракурса при смещении точки, в которой находится глаз.

Идеи, лежащие в основе голографической записи и восстановле­ния зрительной информации, были высказаны английским физиком Д. Табором в 1947 г. Так как для практической реализации гологра­фии необходим свет с высокой степенью коге­рентности, то широкое распространение она получила после создания лазеров.

Зонная пластинка. Чтобы понять принцип голографической записи и восстановления световых волн, рассмотрим действие так на­зываемой зонной пластинки Френеля. Возь­мем плоскую прозрачную пластинку, на ко­торой нанесены концентрические окружно­сти, радиусы которых r_k равны радиусам зон Френеля, видимым из некоторой точки Р. Эти радиусы даются формулой (2) в § 31 «Дифракция света». Таким образом, вся пластинка оказывается раз­битой на зоны Френеля для некоторого значения длины волны X. Теперь все нечетные (или, наоборот, четные) зоны Френеля долж­ны быть сделаны непроз­рачными. Это и есть зон­ная пластинка Френеля (рис. 220).

Фокусирующее действие зонной пластинки. Пред­положим, что на зонную пластинку падает по нор­мали плоская монохрома­тическая волна длины X. Тогда все прозрачные зоны можно рассматривать как источники когерентных вторичных волн. В точке Р (рис. 221) эти вторичные волны будут, интерфери­руя, усиливать друг друга, так как разности хода между волнами, идущими от двух соседних прозрачных зон, равны длине волны X. Точка Р является, таким образом, тем фокусом, в котором сходятся волны, испытавшие дифракцию при прохождении через пластинку.

Но, кроме сходящейся в точке Р сферической волны, в результате дифракции на зонной пластинке возникает также расходящаяся сфе­рическая волна, центр которой расположен в симметричной точке Р' перед пластинкой (рис. 221): лучи /, 2, ... будут восприниматься гла­зом как выходящие из одной точки Р', так как разность хода между такими лучами, как ясно из рисунка, равна целому числу длин волн, что эквивалентно отсутствию разности хода вообще. Таким образом, точка Р' представляет собой мнимый фокус расходящегося пучка лу­чей /, 2, возникающих в результате дифракции плоской волны на зонной пластинке.

Кроме сходящейся и расходящейся сферических волн, позади пластинки будет, разумеется, и плоская волна, так как у лучей, прошедших через прозрачные зоны пластинки без изменения на­правления, разность хода равна нулю.

Зонную пластинку Френеля можно получить фотографическим способом. Для этого достаточно поставить светочувствительную пла­стинку вместо экрана, на котором наблюдается интерференция пло­ской и сферической когерентных волн (рис. 222). Положение светлых и темных интерференционных полос на фотопластинке соответствует положению прозрачных и непрозрачных зон Френеля на зонной пла­стинке. В самом деле, в точках А_{ и А₂ колебания от плоской и сфе­рической волн происходят в одинаковой фазе и дают соседние светлые полосы в интерференционной картине. Расстояния от точек Л, и А₂ до центра S сферической волны различаются на одну длину волны X. Но это как раз то условие, которому удовлетворяют соседние прозрачные кольца на зонной пластинке.

Представим себе, что на полученную таким образом фотографию падает только плоская вол­на, причем точно такая же, как и при фотогра­фировании. Мы уже выяснили, что при этом за пластинкой будут наблюдаться три дифрагиро­вавшие волны: плоская и две сферические. Лучи одной из сферических волн — сходящейся — пе­ресекаются в точке Р (рис. 221). Продолжения лучей другой сферической волны — расходящей­ся — пересекаются в точке Р', положение кото­рой совпадает с центром S сферической волны, использованной при фотографировании.

Эта расходящаяся сферическая волна и пред­ставляет наибольший интерес для голографии. Будем смотреть на пластинку из такого положения, чтобы в глаз попадала только рас­ходящаяся волна (см. рис. 221). Тогда в глаз придет расходящийся пучок лучей, продолжения которых пересекаются в точке Р', и мы увидим сквозь пластинку находящийся в точке Р' точечный источ­ник, хотя на самом деле никакого источника там нет!

Голограмма точечного источника света. Полученная описанным способом фотографическая пластинка с зонами Френеля и представля­ет собой голографическое изображение (голограмму) точечного источ­ника монохроматического света: при дифракции плоской волны на этой голограмме происходит восстановление сферической волны то­чечного источника, использовавшегося при получении голограммы. Другими словами, расходящаяся сферическая волна, возникающая при дифракции плоской волны на голограмме, является точной копией волны, создававшейся точечным источником при записи голограммы.

При получении голограммы точки совершенно не обязательно, чтобы эта точка являлась источником света. Достаточно направить на нее свет, когерентный с плоской волной. Тогда голограмма обра­зуется в результате интерференции плоской волны, которую обычно называют опорной, и когерентной с ней предметной сферической волны, рассеянной облучаемой точкой.

Голограмма сложного объекта. Результаты, полученные для од­ной точки, легко распространить на предметы любой формы, состо­ящие из большого числа точек, рассеивающих свет. На голограмме в этом случае получается сложный интерференционный узор, воз­никающий в результате интерференции опорной волны и всех сфе­рических вторичных волн, рассеянных отдельными точками предме-

Рис. 223. Схемы получения (а) и восстановления (б) голограммы протяженного объекта

та. При восстановлении в результате дифракции опорной волны на этом узоре возникают волны, расходящиеся от таких центров, где находились рассеивающие свет точки предмета при записи голо­граммы.

Схемы получения голограммы протяженного объекта и восста­новления с ее помощью рассеянной объектом волны показаны на рис. 223. Плоская монохроматическая волна от лазера падает на по­лупрозрачную пластинку В и разделяется на две когерентные волны (рис. 223а). Отраженная от В волна падает на фотопластинку С и играет роль опорной волны. Прошедшая сквозь В волна освещает объект А, каждая точка которого становится источником вторичных сферических волн. Рассеянные объектом волны также падают на фотопластинку С, где фиксируется результат их интерференции с опорной волной. Для получения интерференционной картины на фотопластинке необходимо, чтобы время когерентности используе­мого света было большим: протяженность цуга волн должна быть больше разности хода между опорной волной и волной, рассеянной предметом. Именно поэтому необходимо использовать лазер.

При восстановлении рассеянной волны (рис. 2236) на голограм­му падает та же опорная волна, которая использовалась при запи­си. Если расположить глаз (или фотоаппарат) позади голограммы, как указано на рисунке, то, воспринимая пучок расходящихся лу­чей от дифрагировавшей на голограмме опорной волны, наблюда­тель увидит сквозь голограмму объект А в том месте, где он находился при записи голограммы. Разумеется, здесь, как и в рас­смотренном выше случае точечного источника, кроме расходящих­ся волн будут также присутствовать прошедшая без изменения волна и сходящиеся волны, которые дают действительное изобра­жение объекта А'. Использование наклонного падения опорной волны приводит, как видно из рис. 223б, к хорошему пространст­венному разделению всех трех волн, благодаря чему можно сквозь голограмму рассматривать мнимое изображение объекта А без по­мех со стороны других пучков. В отличие от обычной фотографии, здесь не используются ни линзы, ни другие устройства, формиру­ющие изображения.

Система расходящихся волн, дающая мнимое изображение, поч­ти неотличима от волн, исходящих от самого объекта. Благодаря этому голограмма полностью восстанавливает объемную структуру объекта и передает не только видимое пространственное расположе­ние предметов, но и эффект параллакса, заключающийся в измене­нии видимого взаимного расположения предметов при перемещении точки наблюдения.

В отличие от обычной фотографии, голограмма содержит инфор­мацию об объекте в закодированной форме. Внешне голограмма ни­чем не напоминает этот объект. На глаз фотопластинка с голограм­мой представляется равномерно серой, и лишь в микроскоп можно увидеть сложный интерференционный узор. Еще одно отличие от обычной фотографии состоит в том, что для восстановления можно с равным успехом использовать и позитив, и негатив голограммы. Это легко понять, вспомнив, что в зонной пластинке, представляю­щей голограмму точечного источника, можно сделать непрозрачны­ми или четные, или нечетные зоны Френеля.

Любой участок голограммы содержит информацию обо всем объ­екте, в то время как различные участки обычной фотографии пере­дают информацию только об отдельных его частях. Действительно, при записи голограммы на любую часть пластинки падают волны, рассеянные всеми частями объекта.

Объем информации, содержащейся на голограмме, значительно больше, чем на фотографии того же объекта. Если объект состоит из нескольких предметов, находящихся на разных расстояниях, то при фотографировании можно получить четкое изображение, строго го­воря, только для одного из них. При восстановлении голограммы та­кого объекта все предметы будут наблюдаться вполне четкими при соответствующей аккомодации глаза.

• Что такое зонная пластинка Френеля? Объясните фокусирующее дейст­вие зонной пластинки.

• Что представляет собой голограмма точечного источника? Как с ее по­мощью восстанавливается сферическая волна, которую испускал при записи точечный источник?

• Как производится запись голограммы и восстановление предметной вол­ны в случае протяженного предмета? Почему для этого нужен когерент­ный свет?

• Объясните, почему голограмма дает возможность наблюдать объемные изображения предметов?

§ 36. Геометрическая оптика

Геометрическая оптика использует представление о световых лу­чах, распространяющихся независимо друг от друга, прямолиней­ных в однородной среде, отражающихся и преломляющихся на гра­ницах сред с разными оптическими свойствами. Вдоль лучей проис­ходит перенос энергии световых колебаний.

Показатель преломления среды. Оптические свойства прозрачной среды характеризуются показателем преломления п, который опре­деляет скорость v (точнее, фазовую скорость) световых волн:

v = c/n, (1)

где с — скорость света в вакууме. Показатель преломления воздуха близок к единице (п_возд = 1,0003), у воды его значение равно 1,33, а у стекла в зависимости от сорта может составлять от 1,5 до 1,95. Осо­бенно велик показатель преломления алмаза — приблизительно 2,5.

Значение показателя преломления, вообще говоря, зависит от длины волны X (или от частоты со): п = п(Х). Эту зависимость на­зывают дисперсией света. Например, у хрусталя (свинцового стек­ла) показатель преломления плавно меняется от 1,87 для красного света с длиной волны л_кр = 6,6'Ю^-7 м до 1,95 для синего света с л_син = 4,4-10-⁷м.

Показатель преломления связан с диэлектрической проницаемо­стью среды с (для данной длины волны или частоты) соотношением п = VT. Среда с большим значением показателя преломления назы­вается оптически более плотной.

Законы геометрической оптики. Поведение световых лучей под­чиняется основным законам геометрической оптики.

1. В однородной среде световые лучи прямолинейны (закон пря­молинейного распространения света).

2. На границе двух сред (или на границе среды с вакуумом) воз­никает отраженный луч, лежащий в плоскости, образуемой падаю­щим лучом и нормалью к границе, т. е. в плоскости падения, при­чем угол отражения ip, равен углу падения >р (рис. 224):

<p_t = <р (2)

(закон отражения света).

3. Преломленный луч лежит в плоскости падения (при падении
света на границу изотропной среды) и образует с нормалью к гра-
нице угол >р₂ (угол преломления), определяемый соотношением

или

П[ sin ip, = п_г sin ip₂

Sin cpj П₂

sin ip₂

(3)

(закон преломления света или закон Снеллиуса).

При переходе света в оптически более плотную среду (п₂> п_х) луч приближается к нормали (>р₂< у_х). Отношение п₂/п₁ = п₂₁ на­зывают относительным показателем преломления двух сред (или

показателем преломления второй среды относительно первой). При падении света из вакуума на границу среды с показателем пре­ломления п закон преломления принимает вид

sin ipi

sin ср₂

Для воздуха показатель преломления близок к единице (л = 1,0003), поэтому и при падении света из воздуха на неко-

торую среду можно пользоваться формулой (4).

При переходе света в оптически менее плотную среду (п₂< п_х) угол падения не может превышать предельного значения >р_пр, так как угол преломления <р₂ не может превышать л/2 (рис. 225):

^sin Фпр = п_г1п_х (п₂<п{). (5)

Если угол падения tp > (р_пр, происходит полное отражение, т. е. вся энергия падающего света возвращается в первую, оптически бо­лее плотную, среду. Для границы стек­ло — воздух (/г,//г₂= 1,5) <р_пр = 4Г50'.

Принцип Гюйгенса и законы геометри­ческой оптики. Законы геометрической оптики были установлены задолго до вы­яснения природы света. Эти законы могут быть выведены из волновой теории на ос­нове принципа Гюйгенса. Их примени­мость ограничена явлениями дифракции.

Остановимся подробнее на переходе от волновых представлений о распростране­нии света к представлениям геометриче­ской оптики. С помощью принципа Гюй­генса по заданной волновой поверхности падающей волны можно построить волновые поверхности преломленной и отраженной волн. При этом следует учесть, что световые лучи перпендикулярны вол­новым поверхностям.

Рассмотрим плоскую световую волну, падающую из среды 1 (с по­казателем преломления /г,) на плоскую границу раздела со средой 2 (с показателем преломления п₂) под углом (р (рис. 226). Угол падения (р — это угол между падающим лучом и нормалью к границе раздела.

В то же время tp — это угол между границей раздела и волновой поверх­ностью падающей волны. Пусть в не­который момент эта волновая поверх­ность занимает положение АС. Спу­стя время / = CB/vy она достигнет

точки В границы раздела. За это же время вторичная волна из точки А, распространяющаяся в среде ^, рас­ширится до радиуса АЕ = v_yt. Под­ставляя сюда /, получаем АЕ = СВ. Отсюда ясно, что волновая поверх­ность ЕВ отраженной волны, пред­ставляющая собой огибающую всех вторичных сферических волн с цент­рами на отрезке АВ, наклонена к границе раздела на угол <р_р который равен <р (равенство углов <р, и tp следует из равенства прямоугольных треугольников ABE и ABC, имеющих общую гипотенузу АВ и равные катеты АЕ и СБ). Таким образом, отраженный луч АЕ, перпендику­лярный фронту отраженной волны, образует с нормалью угол (р_р рав­ный углу падения tp.

Аналогично из этого построения Гюйгенса можно получить и закон преломления. В среде 2 вторичные волны распространяются со скоростью v₂, и поэтому выходящая из точки А сферическая волна спустя время t имеет радиус AD = v₂t. Подставляя сюда t = CB/v_l, находим AD = v₂CB/v_v Разделив обе части этого равенства на АВ, приходим к соотношению