Предел числовой последовательности.

Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число а_n, то говорят, что задана числовая последовательность { а_n }: a_{1 ,} a₂ , a₃ , ..., a_n , ... .

Другими словами, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: а_n = f(n). Числа a_{1 ,} a₂ , a₃ , ..., a_n называются членами последовательности, а число а_n – общим или n-м членом данной последовательности.

Последовательность считается заданной, если дан способ вычисления любого ее члена по известному номеру.

Пример 1. Написать первые пять членов последовательности, если ее общий член а_n =n (n+1).

Р е ш е н и е. Вычисляя значение произведения n (n+1) при значениях n, равных 1,2, 3, 4, 5, получим: a₁ =2, a₂ =6, a₃=12, a₄=20, a₅=30.

Число А называется пределом числовой последовательности { а_n }, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e, найдется такой номер N (зависящий от e), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство

| а_n – А |<e (1)

Это неравенство равносильно таким двум неравенствам:

А - e< а_n < А + e.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.