Векторы. Линейные операции над векторами. В геометрии вектором называют направленный отрезок

В геометрии вектором называют направленный отрезок. Вектора можно складывать, вычитать, умножать на число. Если зафиксировать базис пространства, то произвольный вектор можно разложить по базису, коэффициенты этого разложения называются координатами вектора в этом базисе. Обычно рассматривают ортонормированный базис { } векторы которого имеют единичную длину и перпендикулярны друг другу. Тогда, разложив вектор по базису
= – координатная запись. Если вектора записаны в координатах, то операции сложения и умножения на число выполняются покоординатно, что согласуется с геометрическим определением суммы, разности и умножения на число.

1.21. По данным векторам , построить векторы:
= + 2 , = 0,5 – 2 и найти их координаты:

1) = (1; 2), = (2; –1); 2) = (–1; 1), = (3; 1);

3) = (–2; –2), = (1; 1); 4) = (2; 4), = (1; –1).

1.22. В треугольнике АВС проведена медиана АD. Выразить вектор через векторы = , = .

1.23. В некотором базисе даны векторы = (1; 2; 1), = (2; 1; 1),
=(–1; –2; –1). Найти все значения параметра m, при которых вектор
= (2; 3; m) линейно выражается через векторы .

Задача о разложении вектора по базису

Имеются три вектора = (–2; 0; 1), = (1; –1; 0), = (0; 1; 2). Выяснить, является ли вектор = (2; 3; 4) линейной комбинацией векторов . Найти его разложение по базису.

Решение.

Пусть =х + у + z .Необходимо найти коэффициенты разложения х, у, z.

Имеем, (2; 3; 4) = x(–2; 0; 1) + y(1; –1; 0) + z(0; 1; 2) или

(2; 3; 4) = (–2х + у; –у + z; х + 2z).

Приравняв координаты, получаем систему уравнений:

Решаем её (х, у, z) = (–1,2; –0,4; 2,6), т. е вектор имеет разложение:

=–1,2 –0,4 + 2,6 .

1.24. Даны четыре вектора , , , в таблице 1.13.

Таблица 1.13

(4, 5, 2) (3, 0, 1) (–1, 4, 2) (5, 7, 8)
(3, –5, 2) (4, 5, 1) (–3, 0, –4) (–4, 5, –2)
(–2, 3, 5) (1, –3, 4) (7, 8, –1) (1, 9, 2)
(1, 3, 5) (0, 2, 0) (5, 7, 9) (0, 4, –2)

 

Показать, что первые три из них образуют базис и найти координаты четвертого вектора в этом базисе.

 








Дата добавления: 2014-12-14; просмотров: 995;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.007 сек.