Решение матричных уравнений

Определение. Матрица А^–1 называется обратной к матрице А, если А٠А^–1 = А^–1٠А = Е.

Теорема. Для любой невырожденной квадратной матрицы существует единственная обратная матрица.

Обратная матрица находится по формуле:

, где Т – транспонирование матрицы, а – присоединенная матица, состоящая из алгебраических дополнений. А_ij – это определитель матрицы меньшего порядка, получаемый из матрицы А вычеркиванием i-строки и j-го столбца, взятый со знаком .

Для матриц размера обратная матрица может быть найдена по формуле:

1.6. Найти обратные матрицы для следующих матриц (табл. 1.4)

Таблица 1.4

1.7. При каких значениях матрица А не имеет обратной:

1) ; 2) ; 3) .

Пример 1.5. Решение матричного уравнения.

Пусть дано матричное уравнение

Нужно найти матрицу Х.

Обозначим А = , а В = , тогда имеем уравнение Х ٠ А = В. Умножим обе части справа на А^–1:

Применяя ассоциативность умножения матриц,

При решении матричных уравнений важно следить за тем, с какой стороны нужно умножать, в силу неперестановочности умножения матриц.

Найдем матрицу А^–1, предварительно вычислим определитель:

Найдем А = = = .

Итак,

Проверка: – верно.

1.8. Решить матричное уравнение:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .