Тема 3. Магнитное поле. Закон Био-Савара-Лапласа

Электрический ток создает поле, действующее на магнитную стрелку. Стрелка ориентируется по касательной к окружности, лежащей в плоскости, перпендикуляной к проводнику с током (рис. 9).

Основной характеристикой магнитного поля является вектор индукция . Принято, что вектор индукция магнитного поля направлен в сторону север-ного полюса магнитной стрелки, помещенной в данную точку поля (рис. 9).

По аналогии с электрическим полем, магнитное поле также может быть изображено графически с помощью силовых линий (линий индукции магнитного поля).

Силовая линия – это такая линия, касательная к которой в каждой точке совпадает по направлению с вектором индукции магнитного поля. Силовые линии магнитного поля, в отличие от силовых линий электростатического поля, являются замкнутыми и охватывают проводники с током. Направление силовых линий задается правилом правого винта (правилом буравчика): головка винта, ввинчиваемого по направлению тока, враща­ется в направлении линий магнитной индукции (рис. 9).

Рис. 9

Для нескольких источников магнитного поля согласно принципу суперпозиции магнитных полей индукция результирующего магнитного поля равна векторной сумме индукций всех отдельных магнитных полей:

.

Вектор индукции магнитного поля, создаваемого проводником с током , можно определить с помощью закона Био-Савара-Лапласа.При этомнеобходимо учесть то, что закон Био-Савара-Лапласапозволяет найти модуль и направление лишьвектора индукции магнитного поля, создаваемого элементом проводника с током . Поэтому, для определения вектора индукции магнитного поля, создаваемого проводником с током , необходимо первоначально разбить этот проводник на элементы проводника , для каждого элемента с помощью закона Био-Савара-Лапласа найти вектор индукции , а затем, используя принцип суперпозиции магнитных полей, сложить векторно все найденные вектора индукции .

Закон Био-Савара-Лапласав векторной форме:

,

где – индукция магнитного поля в точке M, заданной радиусом-вектором , проведенным от начала вектора до этой точки;

– векторное произведение векторов и ;

– магнитная постоянная,

– магнитная проницаемость среды.

Направление вектора определяется по правилу правого винта: направление враще­ния головки винта дает направление вектора , если поступательное движение винта совпадает с направлением тока в элементе проводника (рис. 10).

В скалярном виде закон Био-Савара-Лапласа:

, где – угол между векторами и .

Магнитное поле линейного тока.Для нахождения индукции магнитного поля, созданного прямым проводником с током (рис. 11), необходимо разбить весь проводник на элементы , для каждого элемента проводника с током I найти вектор индукции , а затем векторно сложить все найденные .

В произвольной точке М, удаленной от оси проводника на расстояние b (рис. 11), векторы от всех элементов проводника с током I имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей.

По закону Био-Савара-Лапласа модуль вектора магнитной индукции в точке М поля, созданного элементом проводника с током I :

.

В качестве переменной интегрирования выберем угол , выразив через этот угол все остальные величины.

Из рисунка 11 следует, что , а с другой стороны, .

Тогда , а модуль вектора магнитной индукции в точке М :

.

Из прямоугольного треугольника DOM :

, откуда .

Следовательно, индукция dB, создаваемая элементом проводника dl с током I :

.

Теперь можно перейти к интегрированию:

.

Так как угол для прямого тока изменяется в пределах от до , то магнитная индукция поля прямого тока:

.

Следовательно,

.

Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Для нахождения индукции магнитного поля в центре кругового проводника с током необходимо разбить этот проводник на элементы , причем все элементы проводника с током создают в центре кругового тока магнитные поля одинакового направления – вдоль нормали к плоскости витка (рис. 12). Поэтому сложение век­торов можно заменить сложением их модулей dB.

По закону Био-Савара-Лапласа модуль вектора :

.

Так как все элементы проводника перпендикулярны соответствующим радиусам-векторам (рис. 12), то sina = 1 для всех элементов . Расстояния r для всех элементов проводника также одинаковые (r = R).

Тогда выражение для модуля вектора примет вид:

.

Теперь для нахождения модуля вектора можно перейти к интегрированию:

.

Следовательно, индукция магнитного поля B в центре кругового проводника радиусом R с током I :

.

Тема 4. Действие магнитного поля на проводник с током (закон Ампера) и на движущийся заряд (сила Лоренца)

Закон Ампера. На элемент проводника с током I , помещённый в магнитное поле с индукцией действует сила ( – сила Ампера): .

Модуль вектора : ,

где – угол между векторами и .

Направление вектора можно определить по правилу левой руки: если силовые линии входят в ладонь, а четыре вытянутых пальца располагаются по току, то отведённый большой палец укажет направление силы Ампера(рис. 13, сила перпендикулярна плоскости рисунка).

Сила Лоренца. На заряд q , движущийся со скоростью в магнитном поле с индукцией , действует сила ( – сила Лоренца ): .

Модуль вектора : ,

где α – угол между векторами и .

Направление вектора может быть определено по правилу левой руки для движущихся положительных зарядов и по правилу правой руки для движущихся отрицательных зарядов: если силовые линии магнитного поля входят в ладонь, а четыре вытянутых пальца располагаются по скорости движения частицы, то отведённый большой палец укажет направление силы Лоренца (рис.14, сила перпендикулярна плоскости рисунка).