Тема 1. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля
Электростатическое поле –это особый вид материи, с помощью которой происходит взаимодействие заряженных тел.
Точечным называется заряд, сосредоточенный на теле, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует.
Закон Кулона:сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами q1 и q2 прямопропорциональна величинам этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:
,
где (e0 – электрическая постоянная);
e – диэлектрическая проницаемость среды, показывающая во сколько раз сила взаимодействия зарядов в данной среде меньше, чем в вакууме.
Кулоновская сила направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие точечные заряды, соответствует притяжению в случае разноименных зарядов и отталкиванию в случае одноименных зарядов. Электрические поля, которые создаются неподвижными электрическими зарядами, называются электростатическими.
Для обнаружения и опытного исследования электростатического поля можно использовать пробный точечный заряд q0 . Если этот заряд поместить в какую- либо точкуэлектростатического поля,то на него будетдействовать сила , величина и направление которой определяет силовую характеристику электростатического поля, носящую названиенапряженности электростатического поля.
Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина , определяемая силой, действующей на пробный точечный положительный заряд q0 , помещенный в эту точку поля, то есть:
.
Напряжённость электростатического поля, создаваемого точечным зарядом q в любой точке поля, находящейся на расстоянии r от этого заряда:
.
Электростатическое поле может быть изображено графически с помощьюсиловых линий.Силовая линия — это такая линия, касательная в каждой точке к которой совпадает по направлению с вектором напряженности электростатическго поля в данной точке (рис. 1, 2).
Рис. 1 Рис. 2
Если поле создается точечным зарядом, то силовые линии – это радиальные прямые, выходящие из положительного заряда (рис. 2, а), и входящие в отрицательный заряд (рис. 2, б).
С помощью силовых линий можно характеризовать не только направление, но и величину напряженности электростатического поля, связывая её с густотой силовых линий. Большей густоте силовых линий соответствует большая величина напряженности (рис. 1, 2). Количественно числу силовых линий, пронизывающих единичную площадку, расположенную перпендикулярно силовым линиям, ставится в соответствие величина напряженности электростатического поля. В этом случае определенному заряду q, создающему поле, соответствует определенное число N силовых линий, выходящих (для ) из заряда или входящих (для ) в заряд, а именно: .
Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную площадку S характеризуется числом силовых линий, пронизывающих данную площадку S.
Если площадка S перпендикулярна силовым линиям (рис. 3), то поток ФЕ вектора напряженности через данную площадку S : .
Рис. 3 Рис. 4
|
,
где α – угол между векторами напряженности и нормали к площадке S.
Для того, чтобы найти поток ФЕ вектора напряженности через произвольную поверхность S, необходиморазбить эту поверхность на элементарные площадки dS (рис. 5),определить элементарный поток dФЕ через каждую элементарную площадку dS по формуле: ,
а затем все эти элементарные потоки dФЕ сложить, что приводит к интегрированию:
,
|
Если ввести вектор (рис. 5) как вектор, равный по величине площади площадки dS и направленный по вектору нормали к площадке dS , то величина , где a – угол между векторами и может быть записана в виде скалярного произведения векторов и , то есть, как , а полученное соотношение для потока вектора примет вид:
.
Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля.Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля связывает между собой величину потока ФЕвектора напряженности электростатического поля в вакуумечерез произвольную замкнутую поверхностьS с величинойзаряда q,заключенного внутри даннойзамкнутой поверхностиS (рис. 6).
|
.
Это соотношение есть теорема Остроградского-Гауссадляэлектростатического поля.
Таккак поток считается положительным, если силовые линии выходят из поверхности S, и отрицательным для линий, входящих в поверхность S, то в случае, если внутри произвольной замкнутой поверхности S находится не один, а несколько (n) разноименных зарялов, то теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля формулируется следующим образом:
поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e0:
.
В общем случае электрические заряды могут быть распределены внутри объёма, ограниченного замкнутой поверхностью S, с некоторой объемной плотностью ( ), различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри этой замкнутой поверхности S, охватывающей объем V,равен: .
В таком случае теорема Остроградского - Гаусса приобретает вид:
.
Напряженность электростатического поля зависит от диэлектрических свойств среды. В диэлектрике напряженность поля меньше, чем напряженностьвнешнего электростатического поля в вакууме, в котором находится диэлектрик, в e раз (e – диэлектрическая проницаемость среды), а модуль вектора , переходя через границу диэлектриков, скачкообразно изменяется. Поэтому для характеристики электростатического поля, кроме вектора напряженности , введен векторэлектрического смещения , модуль которого не изменяется при переходе из одной диэлектрической среды в другую.
Вектор электрического смещения по определению: .
Используя то, что в вакууме , теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля может быть переформулирована следующим образом:
,
то есть поток вектора смещения электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов.
В случае, если электрические заряды распределены внутри объёма V, ограни-ченного замкнутой поверхностью S, с некоторой объемной плотностью , теорема Остроградского-Гаусса для электростатическогополяможет быть переформулирована сдедующим образом:
.
Дата добавления: 2014-12-12; просмотров: 864;