Уравнение вращательного движения твердого тела относительно точки.

Будем рассматривать твердое тело, как систему n точек в системе координат xyz. Обозначим: , - масса и скорость i-той точки; - ее радиус-вектор; - внутренняя сила, действующая на i-тую точку со стороны k-той;

- равнодействующая всех внешних сил, действующих на i-тую точку.

Запишем для i-той материальной точки II закон Ньютона:

(38)

Умножим слева обе части (38) векторно на :

(39)

Видно, что

(40)

В самом деле:

причем:

Перепишем уравнение (39) с учетом (40):

(41)

Векторное произведение радиус-вектора точки на ее импульс называется моментом импульса точки относительно т. О:

(42)

Направление находится по правилу векторного произведения. Для случая на рисунке перпендикулярен плоскости, в которой лежат и , и направлен вверх. Модуль момента импульса равен:

, (43)

Векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор этой силы называется моментом силы относительно т. О.

(11) Направление покажем на рисунке. Модуль момента силы равен: (44) где ,

Перпендикуляр , опущенный из т.О на направление вектора силы, называется плечом этой силы.

С учетом (41) и (43) перепишем (40) в виде:

(45)

Записывая аналогичные уравнения для всех n точек твердого тела и суммируя их почленно, получим:

(46)

Векторная сумма называется моментом импульса тела относительно т. О.

Векторная сумма моментов внешних сил, приложенных ко всем точкам системы, называется результирующим или главным моментом внешних сил относительно т. О:

Наконец, векторная сумма моментов всех внутренних сил относительно т. О равна нулю: , т.к. момент каждой пары внутренних сил и равен нулю. Тогда уравнение (40) примет вид:

(47)

Это уравнение называется уравнением вращательного движения твердого тела относительно неподвижной точки.