Применение теоремы Гаусса

1. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Величину заряда, приходящуюся на единицу поверхности, называют поверхностной плотностью заряда s:

Пусть плоскость заряжена положительно с поверхностной плотностью заряда +s=const. Из соображений симметрии силовые линии имеют вид прямых, перпендикулярных плоскости и выходящих из положительных зарядов .

Найдем напряженность в точке A.

В соответствии с законом Кулона для нахождения величины в т. A нужно плоскость разделить на точечные заряды и потом суммировать величины , созданные каждым из этих зарядов. Эта процедура довольно сложная. Теорема Гаусса позволяет решить задачу по отысканию очень просто. Через т. A нужно провести замкнутую поверхность и найти поток через нее.

Поверхность обычно берут такой, чтобы максимально просто можно было бы вычислить ее площадь. В случае заряженной плоскости этой поверхностью является цилиндрическая, у которой образующая перпендикулярна плоскости. Поскольку линии перпендикулярны заряженной плоскости и угол aмежду вектором и нормалью к основаниям цилиндра равен нулю, следовательно, cosa=1. Для боковой же поверхности . Угол a’=90°, следовательно, cosa=0 и .

Итак, общий поток вектора через замкнутую цилиндрическую поверхность равен сумме потоков через два основания и и потоку через боковую поверхность :

где - берем элементарные площадки одинаковой величины.

Суммарный заряд внутри цилиндра

.

Тогда по теореме Гаусса запишем:

и получаем:

Найдем разность потенциалов поля между точками 1 и 2 на расстоянии x₁ и x₂ от плоскости. Воспользуемся соотношением . Векторы напряженности направлены по оси Ox, поэтому:

откуда получим: