ЗАДАНИЕ №1.

Для решения контрольной работы №1 по математике и контрольной работы №1 по курсу алгебра и геометрия следует изучить разделы векторной алгебры, линейной алгебры и аналитической геометрии любых учебников. Для решения задач первой контрольной понадобятся следующие понятия и факты:

Для решения первой задачи:

Определители 2 и 3 порядков

-определитель 2-го порядка

Заметим, что у элемента определителя -номер строки, а -номер столбца

-

- определитель 3 порядка

Векторы и действия над ними.

В декартовой прямоугольной системе координат вектор (или ) имеющий начало в точке А(3,4,0) и конец в точке В(5,7,5) имеет следующие координаты

(5-3; 7-4;5-0) или (2,3,5)

Векторы можно складывать и если = + , где (2,3,5) а (4,5,6) то (2+4;3+5;5+6) = (6,8,11)

Можно умножить вектор на число, например если (2,3,5) умножить на (-2) получим вектор -2 (-4,-6,-10)

Длина (модуль) вектора обозначается и считается по формуле

=

для (2,3,5)

| |=

Итак, мы имеем заданную в пространстве декартову прямоугольную систему координат , , - единичные векторы (орты) положительных направлений осей И когда мы пишем, что (2,3,5) это означает, что =

Тройку векторов называют ортонормированным координатным базисом.

2,3,5 - координаты вектора , а

2 , 3 , 5 - компоненты вектора .

Пусть имеем два вектора (2,3,5) и (6,8,11).

Скалярным произведением вектора навектор называется число ( , ) = , где угол между и .

В координатной форме

( , ) = - т.е. сумме произведений одноимённых координат

=

Скалярное произведение можно использовать, чтобы найти длину вектора.

Скалярный квадрат

=

таким образом

= =

С помощью скалярного произведения можно найти угол между двумя векторами

= , значит

=

Векторным произведением на называется вектор, обозначаемый или

и такой, что:

1) длина |[a, b]| = |a|·|b|·sin –т.е. численно равно площади параллелограмма, построенного на векторах и

2) перпендикулярен плоскости векторов и

3) вектора , , и составляют правую тройку, т.е. расположены как большой, указательный и средний палец правой руки.

Координатная форма векторного произведения

или (-7,8,-2)

Смешанное произведение трех векторов , и обозначается и равно , то есть векторной произведение на скалярно умножено на (значит, это число- скаляр)

Численно модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Координатная форма смешанного произведения

Поскольку в случае компланарности векторов объем соответствующего параллелепипеда равен нулю, то условием компланарности является равенство нулю их смешанного произведения

Плоскость и прямая в пространстве.

Рассмотрим произвольную плоскость и на ней вектор-нормаль , то есть вектор, перпендикулярный плоскости и фиксированную точку .Возьмем текущую точку ,координаты которой меняются так, что точка остается в плоскости, таким образом вектор также всегда, при любых движениях точки лежит в плоскости.

Итак, вектор лежит в плоскости, а вектор ей перпендикулярен. Тогда их скалярное произведение равно нулю:

, или , где

Это общее уравнение плоскости.