Асимптоты графика функции

Понятие асимптоты уже рассматривалось при изучении формы гиперболы.

Определение. Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рисунок 33).

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Говорят, что прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если , или , или .

Действительно, в этом случае непосредственно из рисунка 33 видно, что расстояние точки кривой от прямой равно . Если , то . Согласно определению асимптоты, прямая является асимптотой кривой . Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения х, вблизи которых функция неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.

Например, кривая имеет вертикальную асимптоту (рисунок 34) , так как

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде

. (4)

где и (5)

Итак, если существует наклонная асимптота , то k и b находятся по формулам (5) .

Верно и обратное утверждение: если существуют конечные пределы (5) то прямая (4) является наклонной асимптотой.

Если хотя бы один из пределов (5) не существует или равен бесконечности. То кривая наклонной асимптоты не имеет.

В частности, если то Поэтому — уравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание. Асимптоты графика функции при и могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов (5) следует отдельно рассматривать случай, когда и когда .

Пример Найти асимптоты графика функции .

Решение. Так как то график функции при наклонной асимптоты не имеет.

При справедливы соотношения

Следовательно, при график имеет горизонтальную асимптоту

…