Предел функции
Предел функции в точке и при 
Предел функции — основной аппарат математического анализа. С его помощью определяется в дальнейшем непрерывность функции, производная, интеграл, сумма ряда.
Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки 
, кроме, быть может самой точки .
Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.
Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне). Число b называется пределом функции y = f (x) в точке (или при 
), если для любой последовательности допустимых значений аргумента 
сходящейся к (т.е. 
), последовательность соответствующих значений функции 
сходится к числу b (т.е. 
).
В этом случае пишут 
или 
при . Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке , соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа b.
Определение 2 (на «языкеe-d», или по Коши). Число b называется пределом функции y = f (x) в точке (или при ), если для любого положительного числа e найдётся такое положительное число d, что для всех 
удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
.
Записывают .
Это определение коротко можно записать так:
Заметим, что 
можно записать и так 
.
Геометрический смысл предела функции: 
, если для любой e-окрестности точки b найдётся такая d-окрестность точки , что для всех 
из этой d-окрестности соответствующие значения функции f (x) лежат в e-окрестности точки b. Иными словами, точки графика функции y = f (x) лежат внутри полосы шириной 2e, ограниченной прямыми у = b + e, у = b - e (рисунок 17). Очевидно, что величина d зависит от выбора e, поэтому пишут d = d(e).
В определении предела функции считается, что х стремится к любым способом: оставаясь меньшим, чем (слева от ), большим, чем (справа от ), или колеблясь около точки .
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
Определение. Число 
называется пределом функции y = f (x) слева в точке , если для любого числа e > 0 существует число d = d(e) > 0, такое, что при 
, выполняется неравенство 
.
Предел слева записывается так 
или коротко 
(обозначение Дирихле) (рисунок 18).
Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:
Коротко предел справа обозначается 
.
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют оба односторонних предела, причём 
.
Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела 
и 
и они равны, то существует предел и 
.
Если же 
, то 
не существует.
Определение. Пусть функция y = f (x) определена в промежутке 
. Число b называется пределом функции y = f (x) при х ® ¥, если для любого числа e > 0 существует такое число М = М (e) > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 
выполняется неравенство . Коротко это определение можно записать так:
Если х ® +¥, то пишут 
, если х ® -¥, то пишут 
, если 
= 
, то их общее значение принято обозначать 
.
Геометрический смысл этого определения таков: для 
, что при 
и 
соответствующие значения функции y = f (x) попадают в e-окрестность точки b, т.е. точки графика лежат в полосе шириной 2e, ограниченной прямыми 
и 
(рисунок 19).
Бесконечно большие функции (б.б.ф)
Бесконечно малые функции (б.м.ф)
Определение. Функция y = f (x) называется бесконечно большой при , если для любого числа М > 0 существует число d = d(М) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство 
Записывается 
или 
при .
Коротко:
Например, функция 
есть б.б.ф. при 
.
Если f (x) стремится к бесконечности при и принимает лишь положительные значения, то пишут 
; если лишь отрицательные значения, то 
.
Определение. Функция y = f (x), заданная на всей числовой оси, называется бесконечно большой при 
, если для любого числа М > 0 найдётся такое число N = N (М) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство Записывается 
. Коротко:
Например, 
есть б.б.ф. при 
.
Отметим, что если аргумент х, стремясь к бесконечности, принимает лишь натуральные значения, т.е. 
, то соответствующая б.б.ф. становится бесконечно большой последовательностью. Например, последовательность 
является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, всякая б.б.ф. в окрестности точки является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может не быть б.б.ф. (Например, 
)
Однако, если , где b - конечное число, то функция f (x ограничена в окрестности точки .
Действительно, из определения предела функции следует, что при выполняется условие . Следовательно, 
при 
, а эот означает, что функция f (x) ограничена.
Определение. Функция y = f (x) называется бесконечно малой при , если
По определению предела функции это равенство означает: для любого числа 
найдётся число 
такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство 
.
Аналогично определяется б.м.ф. при 
: Во всех этих случаях 
.
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначаются обычно греческими буквами a, b и т.д.
Примерами б.м.ф. служат функции 
при 
Другой пример: 
- бесконечно малая последовательность.
Пример Доказать, что 
.
Решение. Функцию 5 + х можно представить в виде суммы числа 7 и б.м.ф. х - 2 (при 
), т.е. выполнено равенство 
. Следовательно, по теореме 3.4.6 получаем .
Основные теоремы о пределах
Рассмотрим теоремы (без доказательства), которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка теорем для случаев, когда 
и 
, аналогично. В приводимых теоремах будем считать, что пределы 
, 
существуют.
Теорема 5.8Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: 
.
Теорема 5.9 Предел произведения двух функций равен произведению их пределов: 
Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.
Следствие 3 Постоянный множитель можно выносить за знак предела: 
.
Следствие 4 Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: 
. В частности, 
Теорема 5.10 Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
ПримерВычислить 
Решение. 
ПримерВычислить 
Решение. Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т.к. предел знаменателя, при 
равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределённость вида 
. Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим на 
:
ПримерВычислить 
Решение. Здесь мы имеем дело с неопределённость вида 
. Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель на 
:
Функция 
есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому
Признаки существования пределов
Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция 
при 
предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедится в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.
Первый и второй замечательные пределы
Определение. При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел
,
называемый первым замечательным пределом.
Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.
Пример Найти 
Решение. Имеем неопределённость вида . Теорема о пределе дроби неприменима. Обозначим 
тогда при 
и 
Пример 3 Найти 
Решение. 
Определение.Равенства 
и 
называются вторым замечательным пределом.
Замечание. Известно, что предел числовой последовательности
имеет предел, равный е : 
. Число е называют неперовым числом. Число е иррациональное, его приближённое значение равно 2,72 (е = 2, 718281828459045…). Некоторые свойства числа е делают особенно удобным выбор этого числа в качестве основания логарифмов. Логарифмы по основанию е называются натуральными логарифмами и обозначаются 
Заметим, что
.
Примем без доказательства утверждение, что к числу е стремится и функция 
Если положить 
то из 
следует 
. Эти равенства широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием е. Функция 
называется экспоненциальной, употребляется также обозначение 
Пример Найти 
Решение. Обозначим 
очевидно, 
при 
Имеем
Вычисление пределов
Для раскрытия неопределённостей вида часто бывает полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, 
~ x при 
т.к. 
~ x при , т.к. 
Пример Покажем, что 
~ 
при .
Решение. 
ПримерНайдём 
Решение. Обозначим 
Тогда 
и 
при . Поэтому
Следовательно, 
~ x при .
Пример Покажем, что 
~ 
при .
Решение. Так как
то ~ при .
Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов.
| 1. ~ x при ;
| 6.  ~ x ( );
|
| 2. ~ x ( );
| 7.  ~  ( );
|
| 3. ~ x ( );
| 8.  ~ x ( );
|
4.  ~ x ( );
| 9.  ~  ( );
|
| 5. ~ ( );
| 10.  ~ 
в частности ~ ( ).
|
Пример Найти 
Решение. Так как 
~ 2x, 
~ 3x при , то
Пример Найти 
Решение. Обозначим 
, из следует 
. Поэтому
Пример Найти 
Решение. Так как 
~ (x - 1) при 
, то
Пример Найти приближённое значение для 
.
Решение. 
. Для сравнения результата по таблице логарифмов находим, что 
.
Дата добавления: 2014-12-08; просмотров: 4137;