Предел функции
Предел функции в точке и при
Предел функции — основной аппарат математического анализа. С его помощью определяется в дальнейшем непрерывность функции, производная, интеграл, сумма ряда.
Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может самой точки .
Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.
Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне). Число b называется пределом функции y = f (x) в точке (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента сходящейся к (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу b (т.е. ).
В этом случае пишут или при . Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке , соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа b.
Определение 2 (на «языкеe-d», или по Коши). Число b называется пределом функции y = f (x) в точке (или при ), если для любого положительного числа e найдётся такое положительное число d, что для всех удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
Записывают .
Это определение коротко можно записать так:
Заметим, что можно записать и так .
Геометрический смысл предела функции: , если для любой e-окрестности точки b найдётся такая d-окрестность точки , что для всех из этой d-окрестности соответствующие значения функции f (x) лежат в e-окрестности точки b. Иными словами, точки графика функции y = f (x) лежат внутри полосы шириной 2e, ограниченной прямыми у = b + e, у = b - e (рисунок 17). Очевидно, что величина d зависит от выбора e, поэтому пишут d = d(e).
В определении предела функции считается, что х стремится к любым способом: оставаясь меньшим, чем (слева от ), большим, чем (справа от ), или колеблясь около точки .
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
Определение. Число называется пределом функции y = f (x) слева в точке , если для любого числа e > 0 существует число d = d(e) > 0, такое, что при , выполняется неравенство .
Предел слева записывается так или коротко (обозначение Дирихле) (рисунок 18).
Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:
Коротко предел справа обозначается .
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют оба односторонних предела, причём .
Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела и и они равны, то существует предел и .
Если же , то не существует.
Определение. Пусть функция y = f (x) определена в промежутке . Число b называется пределом функции y = f (x) при х ® ¥, если для любого числа e > 0 существует такое число М = М (e) > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Коротко это определение можно записать так:
Если х ® +¥, то пишут , если х ® -¥, то пишут , если = , то их общее значение принято обозначать .
Геометрический смысл этого определения таков: для , что при и соответствующие значения функции y = f (x) попадают в e-окрестность точки b, т.е. точки графика лежат в полосе шириной 2e, ограниченной прямыми и (рисунок 19).
Бесконечно большие функции (б.б.ф)
Бесконечно малые функции (б.м.ф)
Определение. Функция y = f (x) называется бесконечно большой при , если для любого числа М > 0 существует число d = d(М) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство Записывается или при .
Коротко:
Например, функция есть б.б.ф. при .
Если f (x) стремится к бесконечности при и принимает лишь положительные значения, то пишут ; если лишь отрицательные значения, то .
Определение. Функция y = f (x), заданная на всей числовой оси, называется бесконечно большой при , если для любого числа М > 0 найдётся такое число N = N (М) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство Записывается . Коротко:
Например, есть б.б.ф. при .
Отметим, что если аргумент х, стремясь к бесконечности, принимает лишь натуральные значения, т.е. , то соответствующая б.б.ф. становится бесконечно большой последовательностью. Например, последовательность является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, всякая б.б.ф. в окрестности точки является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может не быть б.б.ф. (Например, )
Однако, если , где b - конечное число, то функция f (x ограничена в окрестности точки .
Действительно, из определения предела функции следует, что при выполняется условие . Следовательно, при , а эот означает, что функция f (x) ограничена.
Определение. Функция y = f (x) называется бесконечно малой при , если
По определению предела функции это равенство означает: для любого числа найдётся число такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
Аналогично определяется б.м.ф. при
: Во всех этих случаях .
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначаются обычно греческими буквами a, b и т.д.
Примерами б.м.ф. служат функции при
Другой пример: - бесконечно малая последовательность.
Пример Доказать, что .
Решение. Функцию 5 + х можно представить в виде суммы числа 7 и б.м.ф. х - 2 (при ), т.е. выполнено равенство . Следовательно, по теореме 3.4.6 получаем .
Основные теоремы о пределах
Рассмотрим теоремы (без доказательства), которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка теорем для случаев, когда и , аналогично. В приводимых теоремах будем считать, что пределы , существуют.
Теорема 5.8Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: .
Теорема 5.9 Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.
Следствие 3 Постоянный множитель можно выносить за знак предела: .
Следствие 4 Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: . В частности,
Теорема 5.10 Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
ПримерВычислить
Решение.
ПримерВычислить
Решение. Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т.к. предел знаменателя, при равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределённость вида . Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим на :
ПримерВычислить
Решение. Здесь мы имеем дело с неопределённость вида . Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель на :
Функция есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому
Признаки существования пределов
Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция при предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедится в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.
Первый и второй замечательные пределы
Определение. При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел
,
называемый первым замечательным пределом.
Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.
Пример Найти
Решение. Имеем неопределённость вида . Теорема о пределе дроби неприменима. Обозначим тогда при и
Пример 3 Найти
Решение.
Определение.Равенства и называются вторым замечательным пределом.
Замечание. Известно, что предел числовой последовательности
имеет предел, равный е : . Число е называют неперовым числом. Число е иррациональное, его приближённое значение равно 2,72 (е = 2, 718281828459045…). Некоторые свойства числа е делают особенно удобным выбор этого числа в качестве основания логарифмов. Логарифмы по основанию е называются натуральными логарифмами и обозначаются Заметим, что
.
Примем без доказательства утверждение, что к числу е стремится и функция
Если положить то из следует . Эти равенства широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием е. Функция называется экспоненциальной, употребляется также обозначение
Пример Найти
Решение. Обозначим очевидно, при Имеем
Вычисление пределов
Для раскрытия неопределённостей вида часто бывает полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, ~ x при т.к. ~ x при , т.к.
Пример Покажем, что ~ при .
Решение.
ПримерНайдём
Решение. Обозначим Тогда и при . Поэтому
Следовательно, ~ x при .
Пример Покажем, что ~ при .
Решение. Так как
то ~ при .
Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов.
1. ~ x при ; | 6. ~ x ( ); |
2. ~ x ( ); | 7. ~ ( ); |
3. ~ x ( ); | 8. ~ x ( ); |
4. ~ x ( ); | 9. ~ ( ); |
5. ~ ( ); | 10. ~ в частности ~ ( ). |
Пример Найти
Решение. Так как ~ 2x, ~ 3x при , то
Пример Найти
Решение. Обозначим , из следует . Поэтому
Пример Найти
Решение. Так как ~ (x - 1) при , то
Пример Найти приближённое значение для .
Решение. . Для сравнения результата по таблице логарифмов находим, что .
Дата добавления: 2014-12-08; просмотров: 4332;