Непрерывность функции в точке, в интервале и на отрезке

Определение. Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел в этой точке, т.е.

. (1)

Данное равенство означает выполнение трёх условий:

· функция определена в точке и в её окрестности;

· функция имеет предел при ;

· предел функции в точке равен значению функции в этой точке.

Так как , то равенство (1) можно записать в виде

. (2)

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию вместо аргумента х подставить его предельное значение .

Например, В равенстве функция и предел поменялись местами в силу непрерывности функции .

Пример Вычислить

Решение.

Можно дать ещё одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

Пусть функция определена в некотором интервале . Возьмём произвольную точку . Для любого разность называется приращением аргумента х в точке и обозначается («дельта х»): . Отсюда .

Разность соответствующих значений функций называется приращением функции в точке и обозначается (или или ): или

(рисунок 25).

Очевидно, приращения и могут быть как положительными, так и отрицательными.

Запишем равенства (1) в новых обозначениях. Так как условия и одинаковы, то равенство (1) принимает вид или

(3)

Полученное равенство (3) является ещё одним определением непрерывности функции в точке.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и её окрестности и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо равенство (1), либо равенство (3) определение.

Пример Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Функция определена при всех

Возьмём произвольную точку х и найдём приращение :

Тогда так как произведение ограниченной функции и б.м.ф. есть б.м.ф.

Согласно определению (3), функция непрерывна в точке х.

Аналогично доказывается, что функция также непрерывна.

Определение. Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Определение. Функция называется непрерывной на отрезке ,если она непрерывна в интервале и в точке непрерывна справа , а в точке непрерывна слева