Классификация точек разрыва
Определение. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.
Если — точка разрыва функции , то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:
· Функция определена в окрестности точки , но не определена в самой точке . Например, функция не определена в точке (рисунок 26).
·
Функция определена в точке и её окрестности, но не существует предела при .
Например, функция
определена в точке ( f (2) = 0), однако в точке имеет разрыв (рисунок 27), т.к. эта функция не имеет предела при :
.
· Функция определена в точке и её окрестности существует но этот предел не равен значению функции в точке : .
Например, функция (рисунок 28). Здесь – точка разрыва, т.к а
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Определение.Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е. и . При этом:
а) если , то точка называется точкой устранимого разрыва;
б) если , то точка называется точкой конечного разрыва. Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода.
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов (слева, или справа, или оба вместе) не существует или равен бесконечности.
Обратимся к функциям, рассмотренным выше.
Для функции , — точка разрыва второго рода (рисунок 26).
Для функции является точкой разрыва первого рода (рисунок 27), скачок функции равен
Для функции является точкой устранимого разрыва первого рода (рисунок 28). Положив (вместо ) при , разрыв устранится, функция станет непрерывной.
Пример Дана функция . Найти точки разрыва, выяснить их тип.
Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки . Очевидно,
Следовательно, , а Поэтому в точке функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен
Дата добавления: 2014-12-08; просмотров: 1574;