Классификация точек разрыва

Определение. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Если — точка разрыва функции , то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

· Функция определена в окрестности точки , но не определена в самой точке . Например, функция не определена в точке (рисунок 26).

·

 
 

Функция определена в точке и её окрестности, но не существует предела при .

 

Например, функция

определена в точке ( f (2) = 0), однако в точке имеет разрыв (рисунок 27), т.к. эта функция не имеет предела при :

.

 

· Функция определена в точке и её окрестности существует но этот предел не равен значению функции в точке : .

Например, функция (рисунок 28). Здесь – точка разрыва, т.к а

 
 

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Определение.Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е. и . При этом:

а) если , то точка называется точкой устранимого разрыва;

б) если , то точка называется точкой конечного разрыва. Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов (слева, или справа, или оба вместе) не существует или равен бесконечности.

Обратимся к функциям, рассмотренным выше.

Для функции , — точка разрыва второго рода (рисунок 26).

Для функции является точкой разрыва первого рода (рисунок 27), скачок функции равен

Для функции является точкой устранимого разрыва первого рода (рисунок 28). Положив (вместо ) при , разрыв устранится, функция станет непрерывной.

Пример Дана функция . Найти точки разрыва, выяснить их тип.

Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки . Очевидно,

Следовательно, , а Поэтому в точке функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен








Дата добавления: 2014-12-08; просмотров: 1574;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.007 сек.