Экстремум функции нескольких переменных

Пусть функция определена в некоторой области , точка .

Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая -окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство ( ).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называются ее экстремумами.

Теорема (необходимые условия экстремума). Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

Точка, в которой частные производные первого порядка равны нулю, называется стационарной точкой функции.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке и некоторой ее окрестности функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке значения

.

Обозначим .

Тогда:

1. Если , то функция имеет в точке экстремум: максимум, если ; минимум, если .

2.Если , то функция в точке экстремума не имеет.

В случае необходимы дополнительные исследования.

Пример 14. Найти экстремум функции

Решение. Здесь ; . Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют.

Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

Отсюда получаем точки М₁ (6;3) и М₂ (0;0).

Находим частные производные второго порядка данной функции:

, , .

В точке М₁ (6;3) имеем: А=-18, В=36, С=-108, отсюда =648, т.е. > 0.

Так как А<0, то в точке М₁ функция имеет локальный максимум:

=324 – 216 – 81 = 27.

В точке М₂(0;0): А=0, В=0, С=0 и, значит, =0. Проведем дополнительное исследование. Значение функции в точке М₂ равно нулю: (0;0)=0. Можно

заметить, что < 0 при ; ≠ 0; при , . Значит, в окрестности точки М₂(0;0) функция принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке М₂ функция экстремума не имеет.