Знакоположительные ряды
Для числовых рядов с положительными членами , при исследовании сходимости используются следующие достаточные признаки.
Интегральный признак Коши
Ряд с положительными убывающими членами сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится несобственный интеграл , где - непрерывная убывающая функция.
Нижним пределом несобственного интеграла может быть любое число из области определения . Этим признаком можно пользоваться, когда выражение общего члена имеет смысл не только для целых положительных значений n но и для всех n, больших некоторого положительного числа т.
Пример 7.
Исследовать сходимость гармонического ряда:
Решение:
Заменяем в выражении общего члена номер n непрерывной переменно и убеждаемся, что является непрерывной убывающей функции при Вычислим несобственный интеграл
.Несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и гармонический ряд.
Признак Даламбера
Если ,то при q<1ряд сходится, а при q>1расходится. При q=1 вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.
Пример 8.
Исследовать на сходимость ряд
Решение:
.
Применим признак Даламбера:
.Так как то по признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.
Признак сравнения
Пусть даны два ряда с положительными членами
… (а)
… (б)
если начиная с некоторого номера n:
1) и ряд (б) сходится, то и ряд (а) также сходится;
2) и ряд (б) расходится, то и ряд(а) также расходится.
При использовании этого признака исследуемый ряд часто сравнивается либо с бесконечной геометрической прогрессией , которая при сходится, а при расходится, либо с гармоническим рядом.
Пример 9
Исследовать ряд на сходимость с помощью признака сравнения
Решение:
Каждый член данного ряда, начиная со второго, больше соответствующего члена гармонического ряда: , и, так как гармонический ряд расходится, то, согласно признаку сравнения, исходный ряд также расходится.
Дата добавления: 2014-12-08; просмотров: 1112;