Пример 2. Классический метод расчета переходного режима

Классический метод расчета переходного режима

Исходные данные

Составляем схему электрической цепи и рассчитываем её элементы в соответствии с условием задачи и сформированным кодом (рис.1):

E = 10·e = 10·1 = 10 B

R = 10·b·f = 10·3·2 = 60 Ом

R₁ = 90·b·f = 90·3·2 = 540 Ом

L = 1.25·d = 1.25·4 = 5 мГн = 5E-3 Гн

С = 1,0·d = 1.0·4 = 4 мкФ = 4E-6 Ф

Задание

1.Определить закон изменения тока в ветви |c - d| = |3 - 4| = 1, применив классический метод расчета.

2.Построить график найденного тока.

В схеме цепи рис.1 в момент t = 0 мгновенно осуществляется коммутация. Определить закон изменения тока i₁ (t).

Переходной процесс в цепи при выбранных направлениях токов описывается тремя уравнениями:

(1)

, (2)

, (3)

где (4)

Искомый ток

i₁ = i_1ПР + i_1СВ (5)

Принужденное значение тока

Выражение для свободной составляющей определяется корнями характеристического уравнения:

или

Решая это уравнение, получаем:

, ,

где δ – коэффициент затухания;

ω₀ - угловая частота собственных колебаний;

Т₀ – период собственных колебаний.

В этом случае , а полный ток:

.

Определяем постоянные интегрирования с учетом начальных условий. В соответствии с первым законом коммутации

Тогда

откуда А = 0,068/sin φ.

Второе уравнение, связывающее постоянные интегрирования А и φ, получаем из выражения первой производной:

имеющей для t = 0 следующий вид:

Начальное значение производной определяем из уравнения (3):

,

где i₁(0₊) = 0.083; u_c(0₊) = R i₁(0_-) =5 В (по законам коммутации).

Тогда получаем: tgφ = ω₀/δ; φ = arctg (ω₀/δ) = 33.16⁰; A = 0.124.

Таким образом, окончательно получаем выражение для тока в первой ветви:

А.

Определяем постоянную времени τ период собственных колебаний Т₀:

τ = 1/δ = 1/6208 = 0,16 мС; Т₀ = 2π/ω₀ = 2π/4057 = 1,55 мС.

Подставляя полученные значения, получаем следующее выражение для тока в первой ветви:

мА.

Построим осциллограмму найденного тока для интервала времени
о < t < 4τ = 0.7 мC с помощью EXCEL:

Определение тока во второй ветви

Закон изменения тока во второй ветви определяется уравнением:

Находим закон изменения напряжения на конденсаторе:

,

где

Определяем постоянные интегрирования с учетом начальных условий.

В соответствии со вторым законом коммутации

Тогда

откуда А = 4,09/sin φ.

Второе уравнение, связывающее постоянные интегрирования А и φ, получаем из выражения первой производной:

имеющей для t = 0 следующий вид:

Начальное значение производной определяем из уравнения (4):

,

где из уравнения (1): ,

из уравнения (2): ,

в соответствии с первым законом коммутации

Тогда получаем: φ = 68,19⁰; A = 4.41.

Таким образом, окончательно получаем выражение для напряжения:

А.

Определяем постоянную времени τ период собственных колебаний Т₀:

τ = 1/δ = 1/6208 = 0,16 мС; Т₀ = 2π/ω₀ = 2π/4057 = 1,55 мС.

Подставляя полученные значения, получаем следующее выражение для напряжения на конденсаторе:

В.

Закон изменения тока во второй ветви определяется уравнением:

.

Подставляя численные значения параметров, получаем:

мА.

Преобразуя полученное выражение, окончательно получаем:

мА.

Строим осциллограмму найденного тока для интервала времени
о < t < 4τ = 0.7 мC с помощью EXCEL:

Определение тока в третьей ветви

Закон изменения тока во второй ветви определяется с учетом уравнения (2).

.

Окончательно получаем выражение для тока в третьей ветви:

.

Строим осциллограмму найденного тока для интервала времени
о < t < 4τ = 0.7 мC с помощью EXCEL:

Осуществляем проверку в рассчитанных точках: