Пример 1. В схеме цепи рис.17 в момент t = 0 мгновенно осуществляется коммутация

В схеме цепи рис.17 в момент t = 0 мгновенно осуществляется коммутация. Е = 18 В, R = 60 Ом, L = 10 мГн, С = 5 мкФ. Определить закон изменения тока i₃ (t).

Переходной процесс в цепи при выбранных направлениях токов описывается тремя уравнениями:

i2 = i1 + i3 , (1) Ri2 + L = Е, (2) 2Ri3 = uс + Ri1 , (3) где i1 = С . (4) Искомый ток i3 = i3ПР +i3СВ . (5)

Принужденное значение тока

.

Выражение для свободной составляющей определяется корнями характеристического уравнения:

откуда

p₁ = - 2260 с^-1, p₂ = - 8850 с^-1 .

При двух различных вещественных корнях i_3СВ = А₁е^P1t + А₂е^P2t .

Постоянные интегрирования находятся при учете начальных условий:

i_3СВ(0) = А₁ + А₂, i¢_3СВ(0) = р₁А₁ + р₂А₂ . (6)

Оба начальных условия зависимые и находятся из уравнений Кирхгофа (1) - (3) с учетом независимых начальных условий.

Независимые начальные условия определяются установившимся режимом до коммутации:

i₂(0+) = i₂(0-) =

u_c(0+) = u_c(0-) = Ri₃(0-) = Ri₂(0-) = 60 · 0,15 = 9 В.

При данных i₂(0) и u_c(0) из уравнений (1), (3)

i₂(0) = i₁(0) + i₃(0) , 2Ri₃(0) = u_c(0) + Ri₁(0) .

Отсюда значения токов i₃(0) = 0,1 А, i₁(0) = 0,05 А. Из уравнения (2) i₂¢ (0) = - 300 А/c. Дифференцирование уравнений (1), (3) с учетом уравнения (4) позволяет найти второе зависимое начальное условие:

i¢₂(0) = i¢₁(0) + i¢₃(0) , 2Ri¢₃(0) = + Ri¢₁(0) ,

т.е. i¢₃(0) = - 44,4 А/с.

Подстановка полученных результатов в выражение (6) дает А₁ = - 6,74·10^-3 А, А₂ = 6,74 · 10^-3 А, а в выражение (5) - окончательный результат

i₃(t) = 0,1 - 6,74 · 10^-3 е^{-2260 t} + 6,74 · 10^-3 е^{-8850 t} А.