Последовательная замена переменной и интегрирование по частям
Пример 1
Найти неопределенный интеграл
Подынтегральная функция представляет собой арктангенс, под которым находится кубический корень. Первая же мысль, которая приходит в голову – избавиться бы от этого корня. Данный вопрос решается путем замены переменной, сама техника замены специфична, и она подробно рассмотрена на уроке Интегралы от иррациональных функций. Проведем замену:
После такой замены у нас получится вполне симпатичная вещь:
Осталось выяснить, во что превратится . Навешиваем дифференциалы на обе части нашей замены:
И само собой раскрываем дифференциалы:
На чистовике решение кратко записывается примерно так:
Проведем замену:
В результате замены получен знакомый тип интеграла, который интегрируется по частям:
(1) Выносим за скобки. К оставшемуся интегралу применяем прием, который рассмотрен в первых примерах урока статьи Интегрирование некоторых дробей.
(2) В подынтегральной функции почленно делим числитель на знаменатель.
(3) Используем свойство линейности неопределенного интеграла. В последнем интеграле сразу подводим функцию под знак дифференциала.
(4) Берём оставшиеся интегралы. Обратите внимание, что в логарифме можно использовать скобки, а не модуль, так как .
(5) Проводим обратную замену, выразив из прямой замены «тэ»:
Студенты-мазохисты могут продифференцировать ответ и получить исходную подынтегральную функцию, как только что это сделал я. Нет-нет, я-то в правильном смысле выполнил проверку =)
Как видите, в ходе решения пришлось использовать даже больше двух приемов решения, таким образом, для расправы с подобными интегралами нужны уверенные навыки интегрирования и не самый маленький опыт.
На практике, конечно же, чаще встречается квадратный корень, вот три примера для самостоятельного решения:
Пример 2
Найти неопределенный интеграл
Пример 3
Найти неопределенный интеграл
Пример 4
Найти неопределенный интеграл
Данные примеры однотипны, поэтому полное решение в конце статьи будет только для Примера 2, в Примерах 3-4 – одни ответы. Какую замену применять в начале решений, думаю, очевидно. Почему я подобрал однотипные примеры? Часто встречаются в своем амплуа. Чаще, пожалуй, только что-нибудь вроде .
Но не всегда, когда под арктангенсом, синусом, косинусом, экспонентой и др. функциями находится корень из линейной функции, приходится применять сразу несколько методов. В ряде случаев удается «легко отделаться», то есть сразу после замены получается простой интеграл, который элементарно берётся. Самым легким из предложенных выше заданий является Пример 4, в нём после замены получается относительно несложный интеграл.
Дата добавления: 2014-11-29; просмотров: 1510;