Случай второй

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

Представим интеграл в стандартном виде :
.

Выписываем степени и коэффициенты:
, , , ,

1) Не относится ли наш интеграл к первому случаю?
– целое? Нет.

2) Проверяем второй случай:
– целое? Нет.

3) – целое! Значит, у нас третий случай.

Согласно правилу для третьего случая, необходимо провести замену , где – знаменатель дроби . В рассматриваемом примере , и знаменатель этой дроби равен опять же «двойке». Коэффициенты (будьте внимательны) ,

Таким образом, чтобы гарантировано избавиться от корня, нужно провести замену .

Оформляем решение:

Проведем замену: .

Разбираемся с корнем. Это труднее, чем в предыдущих случаях.
Сначала из нашей замены нужно выразить «икс квадрат»:

Теперь подставляем под корень:

На втором этапе выясняем, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения . Берем нашу замену и навешиваем дифференциалы на обе части:

Опять проблема, в правой части у нас есть «икс», а нам нужно всё выразить через «тэ».
Берем ранее найденное выражение и выражаем
Окончательно:

В итоге мы выразили через «тэ» и и , всё готово для продолжения решения:

(1) Проводим подстановку согласно замене.

(2) Упрощаем выражение.

(3) Меняем знак в знаменателе и выносим минус за пределы интеграла (можно было не делать, но так удобнее).

(4) Проводим обратную замену. В третьем случае биномиального интеграла это тоже труднее. Если изначальная замена , то .

(5) Избавляемся от четырехэтажности в логарифме.

Пример 10

Найти неопределенный интеграл

Да что такое, опять числитель голый… Честное слово, не нарочно получилось =)

Это пример для самостоятельного решения. Подсказка: здесь
Полное решение и ответ только для выживших студентов.

Что делать, если биномиальный интеграл не подходит ни под один из рассмотренных трех случаев? Это грустный четвертый случай. Такой интеграл является неберущимся.

Есть другие разновидности интегралов с корнями, например, когда корень является аргументом какой-либо функции. Или под корнем находится дробь. Найти такие примеры можно на странице Сложные интегралы.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Проведем замену:

Пример 4: Решение:

Проведем замену: . Навешиваем дифференциалы на обе части:



Вот почему дифференциалы нужно именноНАВЕШИВАТЬна обе части и добросовестно раскрывать эти дифференциалы. Немало чайников здесь формально напишет и допустит ошибку.

Пример 6: Решение:

Замена:

Примечание: на самом деле данное решение не совсем рационально. Перед тем, как раскладывать числитель в сумму, лучше было поменять у знаменателя знак и сразу вынести минус за пределы интеграла: – в таком виде подбирать числитель значительно проще.

Пример 8: Решение:

, , ,
1) – целое? Нет.
2) – целое, значит у нас второй случай.
Замена:





Если , то
Окончательно:

Пример 10: Решение:

, , , ,

1) – целое? Нет.
2) – целое? Нет.
3) – целое!
Замена: , в данном случае:

Разбираемся с корнем. Из :

Тогда:

Оставшаяся часть подынтегрального выражения:

Чему равно ?

Окончательно:

Обратная замена. Если , то