Способы интерполяции. Интерполяционная формула Ньютона.
Пусть - значения некоторой функции , соответствующие равноотстоящим значениям аргумента , т.е. .
Введем обозначения:
- разности первого порядка данной функции;
- разности второго порядка данной функции;
……….
- разности (n+1)-го порядка данной функции.
Запишем таблицу разностей:
x | y | ||||
… |
Если считать n – не только целое и положительное число, а может быть любым (n=t), то интерполяционная формула Ньютона выглядит так:
(1)- интерполяционная ф-ла Ньютона.
Мы получили такую функцию от t, которая при t=0 обращается в y0, при t=1 обращается в y1, при t=2 в y2 и т.д. Так как каждое последующее значение x при постоянном шаге h определяется равенством , то . Тогда полагая , т.е. , приведем формулу(1)к виду (2)
Пример1. Составить интерполяционный многочлен Ньютона для функции, заданной таблицей
x | |||||
y |
Решение: Составим таблицу разностей:
x | y | |||
=1 | =3 | |||
=7-3=4 | ||||
=2 | =7 | =6-4=2 | ||
=13-7=6 | =2-2=0 | |||
=3 | =13 | =8-6=2 | ||
=21-13=8 | =2-2=0 | |||
=4 | =21 | =10-8=2 | ||
=31-21=10 | ||||
=5 | =31 |
Здесь Подставим указанные значения в (2): ,
- интерполяционный многочлен Ньютона.
Пример 2. Даны десятичные логарифмы чисел: lg2,0=0,30103, lg2,1=0,32222, lg2,2=0,34242, lg2,3=0,36173, lg2,4=0,38021, lg2,5=0,39794. Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, найти lg2,03.
Решение. Составим таблицу разностей:
x | y | |||||
=2,0 | =0,30103 | |||||
=0,02119 | ||||||
=2,1 | =0,32222 | =-0,00099 | ||||
=0,02020 | =0,0001 | |||||
=2,2 | =0,34242 | =-0,00089 | =-0,00004 | |||
=0,1931 | =0,00006 | =-0,00006 | ||||
=2,3 | =0,36173 | =-0,00083 | =-0,00002 | |||
=0,01848 | =0,00008 | |||||
=2,4 | =0,38021 | =-0,00075 | ||||
=0,1773 | ||||||
=2,5 | =0,39794 |
Здесь
Подставим указанные значения в (1):
Итак, lg2,03=0,30750
Дата добавления: 2014-12-05; просмотров: 1356;