Численное дифференцирование.

Вычисление производных заданных функций проводится обычно по хорошо известным правилам и формулам дифференцирования. При этом получается аналитическое выражение для производной функции. Подстановка в полученное выражение любого аргумента, принадлежащего области допустимых значений, позволяет вычислить искомое значение производной функции. Если же функции заданы таблично, алгоритмически или очень сложной формулой с использованием специальных функций, то, как правило, прибегают к численному дифференцированию. Целью численного дифференцирования является расчет значения производной функции в определенной точке x.

Дифференцируя полином (1) по переменной x, получим , при повторной процедуре - и т.д.

(3) первый интерполяционный полином Ньютона;

-(4) второй интерполяционный полином Ньютона;

Если требуется вычислить значение первой или второй производной в каком – либо узле таблицы, то достаточно положить t=0 и из формул (3) и (4) получим следующие полезные формулы:

-(5) и

 

-(6)

Погрешность всех формул определяется абсолютной величиной первого из отбрасываемых членов.

Пример 3. Некоторая функция f(x) задана таблицей.

x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
y 0,4992 0,9933 1,4776 1,9471 2,3971 2,8232 3,2211

Вычислите первую производную и вторую производную данной функции в точке x=0,24.

Решение. Ближайшим слева к числу 0,24 является узел 0,2. Его и выбираем за .

Составим таблицу разностей:

x y
=0,2 =0,9933          
    =0,4843        
=0,3 =1,4776   =-0,0148      
    =0,4695   =-0,0047    
=0,4 =1,9471   =-0,0195   =0,0003  
    =0,4500   =-0,0044   =-0,0002
=0,5 =2,3971   =-0,0239   =0,0001  
    =0,4261   =-0,0043    
=0,6 =2,8232   =-0,0282      
    =0,3979        
=0,7 =3,2211          

По первому интерполяционному полиному Ньютона (3), где имеем:

=

 

По первому интерполяционному полиному Ньютона (4):

=

Итак, , .

Содержание работы

Задание 1. Составить интерполяционный многочлен Ньютона для функции, заданной таблицей1.1

x
y

1.2

x
y

Задание 2. Известны значения некоторой функции f(x) в отдельных точках. Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, вычислите f(2,3):

2.1 f(1)=1,00; f(2)=0,25; f(3)=0,11; f(4)=0,06; f(5)=0,04; f(6)=0,03; f(7)=0,02

2.2 f(1)=2,00; f(2)=0,50; f(3)=0,22; f(4)=0,125; f(5)=0,08; f(6)=0,06; f(7)=0,04








Дата добавления: 2014-12-05; просмотров: 1423;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.