Тема 8. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Основные теоретические сведения.

1. Пусть даны два непустых множества D и U. Если каждой паре действительных чисел (x; y), принадлежащей множеству D, по определенному правилу ставится в соответствии один и только один элемент u из U, то говорят, что на множестве D задана функция f (или отображение) со множеством значений U. При этом пишут , или , или . Множество D называется областью определения функции, а множество U, состоящее из всех чисел вида , где , множеством значений функции. Значение функции в точке называется частным значением функции и обозначается или .

2. Частные производные первого порядка.

Частной производной от функции по независимой переменной называется конечный предел

вычисленный при постоянном .

Частной производной по называется конечный предел

,

вычисленный при постоянном .

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

3. Полный дифференциал.

Полным приращением функции в точке называется разность где и произвольные приращения аргументов.

Функция называется дифференцируемой в точке , если в этой точке полное приращение можно представить в виде

, где .

Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений аргументов и , т.е. .

Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. и .

Полный дифференциал функции вычисляется по формуле

.

Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов вычисляется по формуле

.

При достаточно малом для дифференцируемой функции справедливы приближенные равенства

.