Производная. Определение. Свойства и формулы

Пустьфункция у=ƒ(х) определена в некоторой области Х и х₀ – точка внутри Х. Перейдем из точки х₀ в другую точку области Х, изменив значение х₀ на величину Δх (говорят: дадим х₀ приращение Δх). Эта другая точка х=х₀+Δх. Функция ƒ(х) при этом тоже получит некоторое приращение

Δу=Δƒ(х₀)=ƒ(х₀+Δх)–ƒ(х₀).

Приращение функции Δƒ(х₀) (или Δу) – величина, на которую изменяется значение функции, когда аргумент получает приращение Δх.

Основным вопросом, который нас будет интересовать, является вопрос о характере изменения функции в точке х₀. Точнее, нас будет интересовать скорость изменения значений функции при переходе от значения х₀ независимой переменной к другому.

Рассмотрим для этого отношение приращения функции к приращению независимой переменной

Это отношение называют средней скоростью изменения функции на промежутке между точками х₀ и х₀+Δх.

Средняя скорость зависит от Δх, поэтому средняя скорость не будет достаточно хорошей характеристикой изменения функции в точке х₀. За скорость изменения функции ƒ(х) в точке х₀ принимается предел средней скорости при Δх®0.

Определение.Если существует конечный предел отношения приращения

функции у=ƒ(х) к приращению независимой

переменной, когда это приращение стремится к нулю, то

этот предел называется производной функции у=ƒ(х) в

точке х₀и обозначается одним из следующих символов:

, .

По определению:

или .

Таким образом, производная ƒ¢(х₀) есть скорость изменения функции ƒ(х) в точке х₀. Таков физический смысл производной.

Рассмотрим геометрический смысл производной.

Пусть дан график функции у=ƒ(х), представляющий собой некоторую кривую. Отметим на ней некоторую точку М₀. Если М – другая точка этой кривой, то прямая М₀М называется секущей.

Определение. Касательной к кривой в точке М₀ называется предельное

положение секущей М₀М при условии, что точка М,

двигаясь по кривой, приближается к точке М₀.

Пусть х₀ и х₀+Δх – абсциссы точек М₀ и М графика функции у=ƒ(х). Ординатами этих точек будут числа ƒ(х₀) и ƒ(х₀+Δх) или у₀=ƒ(х₀) и у₀+Δу=ƒ(х₀+Δх).

Рис. 22.

Запишем уравнение касательной к графику у=ƒ(х) в точке М₀(х₀, у₀):

у–у₀=k·(х–х₀),

где k – угловой коэффициент касательной, т. е. k=tg α.

Поскольку касательная – предельное положение секущей, то и угол α наклона касательной есть предел угла β наклона секущей, т. е. k=tg α= , при условии, что точка М по графику приближается к точке М₀, но тогда Δх®0.

Из треугольника М₀FМ и .

Таким образом, касательная к графику функции у=ƒ(х) существует, если в точке х₀ функция ƒ(х) имеет производную, а угловой коэффициент касательной в точке М₀(х₀, у₀) равен значению производной в точке х₀, т. е. k=ƒ¢(x₀).

Уравнение касательной:

у–у₀=ƒ¢(х₀)·(х–х₀).

Выяснив физический и геометрический смысл производной, рассмотрим основные свойства и формулы дифференцирования (дифференцированием функции называется процесс отыскания ее производной).

Теорема 1.Если функция ƒ(х) дифференцируема в точке х₀, то ƒ(х)

непрерывна в точке х₀.

Заметим сразу, что обратное утверждение не всегда верно.

Теорема 2. Если функция ƒ(х) во всех точках отрезка [а, b] имеет

положительную производную, то ƒ(х) возрастает на [а, b],

т. е. еслиƒ¢(х) > 0 на [а, b], то ƒ(х) возрастает на [а, b].

Теорема 3. Если функция ƒ(х) во всех точках отрезка [а, b] имеет

отрицательную производную, то ƒ(х) убывает на [а, b], т. е.

если ƒ¢(х) < 0, то ƒ(х) убывает на [а, b].

Рис. 23. Рис. 24.

В случае ƒ¢(х) > 0 и tg α > 0, т. е. в любой точке графика угол наклона α < 90⁰. Функция возрастает на [а, b].

В случае ƒ¢(х) < 0 tg α < 0 и угол наклона касательной α > 90⁰. Функция убывает на [а, b].

Теоремы 2 и 3 используются при решении задачи на отыскание интервалов монотонности функции.