Матричный способ решения системы линейных уравнений

Обратимся вновь к системе п линейных уравнений с п неизвестными.

(4)

Покажем, что эту систему можно записать в виде одного матричного уравнения. Для этого введем в рассмотрение матрицы:

.

Назовем А – матрицей системы, Х – столбцом неизвестных, В – столбцом свободных членов. Рассмотрим уравнение А×Х=В.

Умножая первую строку матрицы А на столбец Х, получим первый элемент матрицы В, т.е.

.

А это и есть первое уравнение системы (4). Аналогично, получим и все остальные уравнения системы (4).

Итак, система (4) может быть представлена одним уравнением

А×Х=В, (5)

которое и является матричной формой системы (4).

Если матрица А системы (4) невырожденная, то существует матрица А^-1, обратная для матрицы А. Умножим слева обе части уравнения (5) на А^-1. Получим А^-1×А×Х=А^-1×В. Так как А^-1×А=Е и Е×Х=Х, то имеем

Х=А^-1×В (6)

Формула (6) дает матричную запись решения системы (4).

Рассмотрим пример

№ 14. Решить систему матричным способом

Запишем систему в определенном порядке

,

т.е. матрица А – невырожденная. Найдем обратную матрицу А^-1.

- обратная матрица.

Решение системы найдем по формуле (6):

Решение системы: х=2; у= –5; z=3. Подстановкой в систему легко проверить правильность решения.

Таким образом, крамеровскую систему можно решить по формулам Крамера или матричным способом.