Определители второго и третьего порядков

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

(1)

Умножая обе части первого уравнения на , а второго на и затем складывая уравнения, получим

Умножая первое уравнение на –а₂, а второе на а₁ и после этого складывая уравнения, получим

Из этих уравнений при условии получим решение системы (1).

(2)

Заметим, что знаменатели в формулах (2) составлены из коэффициентов , , , при неизвестных системы (1). Условились записывать число в виде таблицы и назвали его определителем второго порядка, т.е.

= .

Аналогично,

= и = .

Формулы (2) теперь можно записать с помощью трех определителей второго порядка, составленных из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (1): , где

= - определитель системы,

= - определитель неизвестного х,

= - определитель неизвестного у.

Формулы (2) позволяют сформулировать правило Крамера для решения системы (1).

Если определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение. Это решение находится по формулам:

, .

Вернемся к определителю второго порядка = .

Определитель второго порядка – это число, вычисленное по таблице, составленной из четырех чисел (элементов) , , , . Элементы определителя расположены в двух строках ( и в первой строке, и во второй строке) и в двух столбцах ( и в первом столбце, и во втором столбце).

Диагональ, на которой расположены элементы , называется главной, диагональ из элементов , называется побочной. Таким образом, определитель равен разности произведений элементов, стоящих соответственно на главной и побочной диагоналях.

Если для системы (1) определитель системы = , то = получается из заменой первого столбца (т.е. коэффициентов при х) столбцом свободных членов, = получается из заменой второго столбца (из коэффициентов при у) столбцом свободных членов.

Примеры.

№1. Решить систему

;

№ 2 Решить систему

№ 3 Решить систему

Запишем систему в определенном порядке: .

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Удобнее все неизвестные обозначить буквой х с индексом (х₁, х₂, х₃), все коэффициенты при неизвестных – одной буквой а с двумя индексами, из которых первый – номер уравнения, второй – номер неизвестного.

(3)

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных (он содержит девять элементов, записанных в три строки и в три столбца), назовем определителем системы (3).

- определитель третьего порядка.

Укажем правило Сарруса для вычисления определителя третьего порядка:

Для удобства покажем схему, по которой вычисляют определитель третьего порядка.

Итак, произведения элементов, соединенные пунктиром, входят в сумму со знаком плюс или со знаком минус.

Примеры.

№ 4.

Для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными правило Крамера формулируется аналогично уже доказанному.

Если определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

Здесь - определители при неизвестных соответственно, полученные из определителя системы заменой столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной столбцом из свободных членов.

№ 5.

Проверкой убедимся, что решение системы найдено правильно:

2×2-5+3=2 верно

5×2-5+3×3=14 верно

2×2-5+2×3=5 верно

Ответ: х=2, у= –5, z=3.