Подставив эти значения и выполнив вычисление, получим

Q=3,5×10³=35 кДж.

3.2. Какую работу надо совершить, чтобы, медленно сжимая при помощи поршня газ в цилиндре с хорошо проводящими тепло стенками, увеличить его давление в два раза? Начальное давление газа равно атмосферному p₁=760 мм рт.ст., начальный объем V₁=5,0 л. Во время сжатия давление и температура окружающего воздуха остаются постоянными. Весом поршня и трением пренебречь. Сколько тепла выделяется при сжатии газа?

Решение. Вначале выясним, каким процессом является сжатие газа в условиях задачи? Медленное протекание процесса и большая теплопроводность стенок цилиндра позволяют считать температуру газа равной температуре окружающей среды в течениевсего процесса. А, так как последняя, согласно условию, остается неизменной, то сжатие газа следует считать изотермическим процессом.

Работа газа при изотермическом процессе определяется формулой:

A=mRT/m×lnV₁/V₂.

Преобразуем ее применительно к данной задаче, используя уравнение газового состояния и закон Бойля-Мариотта:

A₁=mRT/m lnV₂/V₁=p₁V₁×lnp₁/p₂.

Поскольку p₁<p₂, то A_г<0. Как и следовало ожидать, работа, совершенная газом при его сжатии, отрицательна. В этом случае положительной будет работа A_вн, совершенная внешними силами, сжимающими при помощи поршня газ в цилиндре:

A_вн=-A_г=p₁V₁×ln(p₂/p₁).

Однако это выражение еще не является ответом, ибо Aвн есть сумма двух работ: работы A силы, приложенной к поршню (например, силы руки), и работы Aатм силы атмосферного давления, т.е.

A_вн=A+A_атм.

Поусловию задачи искомой величиной является работа A. Величину же A_атм можно найти по формуле работы газа при изобарном процессе

A_атм=p₁(V₁-V₂),

поскольку атмосферное давление p₁ остается постоянным. При этом индексы у объемов проставлены так, чтобы работа A_атм, вычисленная по формуле, была положительной. Преобразуем эту формулу, учитывая, что газ в цилиндре сжимается изотермически:

A_атм=p₁V₁(1-V₂/V₁)=p₁V₁(1-p₁/p₂).

Искомая работа

A=A_вн-A_атм=p₁V₁(ln(p₂/p₁)-1+p₁/p₂).

Для определения количества теплоты, выделенного при сжатии газа, воспользуемся первым началом термодинамики. Поскольку при изотермическом процессе (T=const) изменение внутренней энергии равно нулю:

DU=mC_VDT/m=0,

из уравнения

Q=DU+A

получаем, что количество теплоты, сообщенное газу, равно

Q=A_г=p₁V₁ln(p₁/p₂)=-p₁V₁ln(p₁/p₂).

Величина Q оказалась отрицательной, что обусловлено выделением теплоты газом приего сжатии.

Выразим данные величины в единицах СИ:

V₁=5,0×10^-3 м³, p₁=1,01×10⁵ Па, p₂/p₁=2. Подставив эти значения в формулы, и выполнив вычисление, получим:

A=1,0×10³ Дж=0,10 кДж; Q=-3,5×10³ Дж=-0,35 кДж.

3.3. В цилиндре с плохо проводящими тепло стенками, закрытом сверху легко скользящим поршнем, площадь которого равна 20 см² и масса m_п=2,00 кг, находится воздух, занимая объем V₁=1,00 л. На поршне лежит гиря массой m_г=8,00 кг. Если быстро убрать гирю, воздух расширится и поднимет поршень. Определить работу расширения воздуха за время, в течение которого скорость поднимающегося поршня достигнет максимального значения v_макс. Атмосферное давление p_o принять равным 1,00 ат.

Решение. Прежде всего, выясним характер процесса расширения воздуха в цилиндре. Учитывая, что, по условию, воздух расширяется быстро, а стенки цилиндра обладают плохой теплопроводностью, можно пренебречь теплообменом между воздухоми окружающей средой, т.е. считать процесc расширения воздуха адиабатическим.

Изусловиязадачи легко определитьначальное давление p воздуха в цилиндре. На поршень в начальном состоянии действуют силы: сила тяжести поршня m_пg, вес гири, равный m_гg, сила атмосферного давления, равная p_oS, и сила давления воздуха, равная p₁S. Первые три силы направлены вниз, последняя – вверх. Изусловия равновесия поршня имеем

p₁S=m_пg+m_гg+p_oS,

откуда

p₁=(m_п+m_гg)g/S+p₀=1,47×10⁵ Па.

Условие задачи позволяет также определить давление p₂ воздуха в цилиндре в тот момент, когда скорость поднимающегося поршня достигнет максимума. Поскольку воздух расширяется адиабатически, из уравнения Пуассона

PV^g=const

следует, что его давление, а значит, и сила давления на поршень будут уменьшаться. После того как сняли с поршня гирю, сила давления воздуха на поршень снизу была сначала больше, чем сумма сил mg+pS, действующих на него сверху, но спустя некоторый промежуток времени, в течение которого поршень двигался ускоренно,силы, приложенные к поршню, окажутся снова в равновесии.

Именно в этот момент скорость поршня достигнет значения v_макс, так как при дальнейшем увеличении объема воздуха в цилиндре его давление станет меньше суммы давлений сил m_пg+p₀S. Теперь равнодействующая сил, приложенных к поршню, окажется направленной вниз и скорость поршня будет убывать. Таким образом, из условия равновесия сил, соответствующего максимуму скорости поршня:

p₂S=m_пg+p₀S,

находим

p₂=m_пg/S+p₀=1,08×10⁵ Па.

Теперь, зная начальное p₁ и конечное p₂ давления воздуха в адиабатическом процессе, а также начальный объем V₁, легко найти работу расширения газа:

Неизвестное отношение объемов выразим через отношение давлений

.

Таким образом имеем

Поскольку воздух является смесью двухатомных газов – азота и кислорода, определим показатель адиабаты, отношение его теплоемкостей, как для двухатомного газа i=5:

g=C_p/C_V=(i+2)/i=(5+2)/5=1,4.

Подставив числовые значения величин в единицах СИ, получим

A=30 Дж.

3.4. В цилиндре под поршнем находится водород массой m=0,02 кг при температуре T₁=300 К. Водород сначала расширялся адиабатно, увеличив свой объем в пять раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в пять раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершаемую газом при этих процессах.

Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой соотношением

или

где g – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме;

Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры:

Работа газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле

A=m C_V(T₁-T₂)/m,

где C_V – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Работа A₂ газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде:

A₂=mRT₂ln(V₃/V₂)/m, или A₂=mRT₂ln(1/n₂)/m,

где

Выразив все величины в единицах СИ, подставив их в соответствующие формулы, произведем вычисления, учитывая, что для водорода как для двухатомного газа g=1,4, i=5 и m=2×10^-3 кг/моль.

T₂=157 К;

A₁=29,8 кДж;

A=-21 кДж.

Знак «минус» показывает, что при сжатии работа совершается над газом внешними силами.

3.5. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика T₁=500 К. Определить термический КПД h цикла и температуру T₂ теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу A=350 Дж.

Решение. Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой

h=A/Q₁=(Т₁-Т₂)/Т₁,

где Q – теплота, полученная от теплоотдатчика;

A – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины;

T₁ – температура теплоотдатчика;

T₂ – температура теплоприемника.

Зная КПД цикла, по формуле:

T₂=T₁(1-h)

можно определить температуру теплоприемника.

В условии задачи все величины представлены в единицах СИ, подставив их в соответствующие формулы, произведем вычисления

h=350/1000=0,35;

T₂=500(1-0,35)=325 К.

3.6. Идеальный трехатомный газ совершает цикл, состоящий из изохоры, изобары, изохоры и изобары. Определить КПД цикла, если

V₁=1,00 л, V₂=2,00 л, p₁=1,0 атм, p₂=2,0 атм. Считая величины V₁, V₂, p₁, p₂ переменными, принимающими любые положительные значения, найти предельный (наибольший) КПД данного цикла.

Решение. Рассмотрим процессы цикла по порядку.

1. Первый процесс. Объем V₁ газа сохраняется, при этом давление его увеличивается от p₁ до p₂. Так как при изохорном процессе давление газа пропорционально его абсолютной температуре, видим, что температура газа здесь повышается. Следовательно, газ при этом получает (от нагревателя) количество тепла Q₁₂.

2. Второй процесс. Давление p₂ газа сохраняется, объем же увеличивается от V₁ до V₂, при этом газ совершает работу, равную

A₂₃=p₂(V₂-V₁).

Так как при изобарном процессе объем газа пропорционален абсолютной температуре, видим, что температура газа и в этом процессе повышалась. Следовательно, издесь газ получил количество теплоты Q₂₃.

3. Третий процесс. Процесс идет изохорно (V₂=const), давление газа уменьшается от p₂ до p₁, что означает понижение температуры. Следовательно, газ при этом отдает (холодильнику) количество теплоты Q₃₄.

4. Четвертый процесс. При постоянном давлении p₁ газ сжимается от объема V₂ до объема V₁ и совершает при этом отрицательную работу

А₄₁=p₁(V₁-V₂)=-p₁(V₂-V₁).

Уменьшение объема при изобарном процессе связано с понижением температуры газа. Следовательно, здесь, как и впредыдущем случае, газ отдает (холодильнику) некоторое количество тепла Q₄₁.

Теперь можно приступить к вычислению КПД цикла по формуле:

h=A/Q₁=(Q₁-Q₂)/Q₁=(T₁-T₂)/T₁.

где A – работа, совершенная рабочим веществом в течение цикла;

Q₁ – количество теплоты, полученное за это время рабочим веществом;

Q₂ – количество теплоты, отданное при этом холодильнику:

T₁ и T₂ – наивысшая и наинизшая температуры рабочего вещества.

Работа газа совершается во втором и четвертом процессах и равна

A=A₂₃+A₄₁=(p₂-p₁)(V₂-V₁).

Количество теплоты Q, сообщенное газу при его нагревании, найдем на основании первого начала термодинамики. Учитывая, что газ получает теплоту в первом и втором процессах:

Q=DU+A.

Изменение внутренней энергии DU при переходе газа из состояния 1 в состояние 3 вычислим как разность значений U₃ и U₁:

DU=U₃-U₁=imR(T₃-T₁)/2m.

или на основании уравнения газового состояния:

DU=i(p₂V₂-P₁V₁)/2.

Подставив вместо DU и A₂₃ их значения в формулу для определения Q₁, получим

Q₁=i(p₂V₂-p₁V₁)/2+p₂(V₂-V₁).

Наконец найдем КПД цикла

Подставив числовые значения величин p₁, p₂,V₁, V₂, из условия задачи и учитывая, что газ – трехатомный и, следовательно, i=6, получим:

h=0,09.

Чтобы определить наибольший КПД цикла, выразимоличество теплоты, сообщенное газу, через молярные теплоемкости C_p и C_V

Q=Q₁+Q₂=nC_V(T₂-T₁)+nC_p(T₃-T₂).

С помощью уравнения Менделеева-Клапейрона, записав его для каждого из трех состояний 1, 2, 3 преобразуем вышенаписанную формулу для Q₁:

Q₁=((p₂-p₁)V₁C_V/R)+((V₂-V₂)p₂C_p/R).

Подставив значения A и Q₁ в формулу для КПД, получим

Чтобы упростить исследование, разделим числитель и знаменатель на произведение p₂V₂ и введем обозначения a=p₁/p₂, b=V₁/V₂:

Заметим, что согласно условию каждая из величин a и b может принимать любые значения в интервале от 0 до 1.

При произвольном фиксированном значении b выражение приобретает вид:

где K₁, K₂, K₃ – постоянные положительные величины.

Из полученного выражения видно, что h(a) – убывающая функция. Следовательно, она принимает наибольшее значение при a=0.

При любом фиксированном значении a имеем

где К₄, К₅, К₆ – постоянные положительные величины.

Из последнего выражения видно, что (b) – убывающая функция. Значит, ее наибольшему значению соответствует b=0.

Сопоставляя полученные результаты, приходим к выводу, что, положив в формуле для КПД a=0, b=0, найдем предельное значение h_пред:

h_пред=R/C_p=2/(i+2)=0,25.

3.7. Цикл Карно, совершаемый смесью жидкости и пара, происходит в том же температурном интервале, что и цикл, рассмотренный в задаче 3.6. Определить КПД цикла Карно.

Решение. КПД цикла Карно, состоящего из двух изотерм и двух адиабат, не зависит от того, какое рабочее вещество совершает этот цикл, и равен

h_К=(Т₁-Т)/Т₁.

Таким образом, задача сводится к определению наивысшей и наинизшей температур газа в условиях задачи 3.6.

Было уже выяснено, что газ нагревался при совершении первого и второго процессов и охлаждался при совершении третьего и четвертого процессов. Следовательно, наивысшей температурой газ обладал после второго процесса, наинизшей – вначале первого или в конце четвертого. Сохраняя обозначения предыдущей задачи, можно записать на основании уравнения газового состояния:

T₁=T₃=p₂V₂/(nR), T₂=T₁=p₁V₁/(nR).

Подставив эти значения T₁ и T₂ в формулу для определения КПД цикла Карно, получим

h_К=(p₂V₂-p₁V₁)/(p₂V₂).

Используя числовые данные из условия задачи 3.6, найдем h_К=0,75.

Сравнив ответы в задачах 3.6 и 3.7, получим h_К=8,3. Это проявление общей закономерности: тепловая машина, работающая по циклу Карно, обладает наибольшим КПД по сравнению с машиной, работающей по любому другому циклу в том же температурном интервале.

3.8. Тепловая машина работает по циклу Карно, КПД которого h=0,25. Каков будет холодильный коэффициент h' машины, если она будет совершать тот же цикл в обратном направлении? Холодильным коэффициентом называется отношение количества теплоты, отнятого от охлаждаемого тела, к работе двигателя, приводящего в движение машину.

Решение. КПД любого цикла, в том числе и цикла Карно, можно определить по формуле

h=A/Q₁=(Q₁-Q₂)/Q₁.

Особенностью циклаКарно является его обратимость: процесс может протекать как в прямом, так и в обратном направлении. При обратном цикле Карно рабочее вещество будет, расширяясь по изотерме T₂=const, отбирать от холодильника количество теплоты Q₂ и, сжимаясь по изотерме T₁=const, отдавать нагревателю количество теплоты Q₁. При этом работа, совершенная рабочим веществом за один цикл, будет отрицательной (положительная работа расширения меньше по модулю отрицательной работы сжатия). В этом случае положительной будет работа A двигателя, приводящего в действие машину.

Согласно определению холодильного коэффициента, запишем

h'=Q₂/A.

Чтобы его определить, исключим из формулы КПД цикла Карно величину Q₁=A+Q₂:

h=A/(A+Q₂).

Выполнив преобразования, получим:

1/h=(A+Q₂)/A=1+Q₂/A=1+h', или h'=1/h-1.

Подставив численные значения, будем иметь

h'=1/0,25-1=3, или h'=300%.

3.9. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества n=1 моль, находится под давлением p₁=250 кПа и занимает объем V₁=10 л. Сначала газ изохорно нагревают до температуры T₂=400 К. Далее, изотермически расширяя, доводят его до первоначального давления. После этого путем изобарного сжатия возвращают газ в начальное состояние. Определить термический КПД цикла.

Решение. Для наглядности решения задачи можно построить график цикла, который будет состоять из изохоры, изотермы и изобары, с характерными точками начала иконца соответствующих процессов: 1, 2, 3. Термический коэффициент полезного действия любого цикла определяется выражением

h=(Q₁-Q₂)/Q₁=1-Q₂/Q₁,

где Q₁ – количество теплоты, полученное газом за цикл от нагревателя;

Q₂ – количество теплоты, отданное газом за цикл охладителю (холодильнику);

(Q₁-Q₂)=A – работа, совершаемая газом за цикл.

Рабочее вещество (газ) получает тепло Q₁ от нагревателя, в рассматриваемом случае, при переходе изсостояния 1 в состояние 2 (изохорно) Q₁₂ и при переходе из состояния 2 в состояние 3 (изотермически) Q₂₃. Таким образом

Q₁=Q₁₂+Q₂₃.

Количество теплоты, полученное газом при переходе из состояния 1 в состояние 2 (при изохорическом процессе):

Q₁₂=C_Vn(T₂-T₁),

где C_V – молярная теплоемкость при постоянном объеме;

n – количество вещества;

T₁ – температура газа в начальном состоянии – 1;

T₂ – температура газа в конечном состоянии – 2;

Температуру T₁ начального состояния газа найдем, воспользовавшись уравнением Менделеева-Клапейрона:

T₁=p₁V₁/(nR).

Количество теплоты, полученное газом при переходе из состояния 2 в состояние 3 (при изотермическом процессе), равно

Q₁₂=nRT₂×ln(V₂/V₁),

где V₂ – объем газа при температуре T₂ и давлении p₁ в состоянии 3.

Количество теплоты, отданное газом при переходе из состояния 3 в состояние 1 (при изобарическом процессе)

Q₂=Q₃₁=nC_p(T₂-T₁),

где C_p – молярная теплоемкость газа при постоянном давлении.

Подставим найденные значения Q₁ и Q₂ в формулу для термического коэффициента полезного действия, будем иметь

В полученном выражении заменим отношение объемов, согласно закону Гей Люссака, отношением температур:

V₂/V₁=T₂/T₁.

Выразив C_V и C_p через число степеней свободы молекул газа C_V=iR/2 и Cp=(i+2)R/2, после сокращения на n и R/2, получим:

Подставив значения i, T₁, T₂ и R и произведя вычисление, найдем

h=0,041=4,1%.

3.10. Нагреватель тепловой машины, работающий по обратимому циклу Карно, имеет температуру t₁=200 ^oС. Определить температуру T₂ охладителя, если при получении от нагревателя количества теплоты Q₁=1 Дж машина совершает работу A=0,4 Дж. Потери на трение и теплоотдачу не учитывать.

Решение. Температуру охладителя найдем, использовав выражение для термического КПД машины, работающей по циклу Карно:

h=(T₁-T₂)/T₁

Отсюда

T₂=T₁(1-h).

Термический КПДтепловой машины выражает отношение количества теплоты, которое превращено в механическую работу A, к количеству теплоты Q₁, которое получено рабочим телом тепловой машины из внешней среды (от нагревателя):

h=A/Q₁.

Подставив это выражение, найдем

T₂=T₁(1-A/Q₁).

Учтя, что Т₁=473 К, после вычисления будем иметь

T₂=473(1-0,4/1)=284 К.