Моделирование случайных величин с заданным
законом распределения
Реальные случайные величины очень редко описываются равномерным распределением и подчиняются самым разнообразным законам распределения (нормальному, показательному, гамма-распределению и т.д.). В то же время моделирование на ЭВМ всех этих законов распределения, выполняется путем преобразования случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [0, 1] .
Рисунок 9.2 - Структурная схема алгоритма моделирования
случайного события
Существует два основных пути такого преобразования случайных чисел. Один из них, который может быть назван прямым, состоит в реализации некоторой операции над числом ξ, формирующей число η, имеющее заданный закон распределения. Другой путь основывается на моделировании условий соответствующей предельной теоремы теории вероятностей.
В первом случае используется так называемый метод обратной функции: если случайная величина Z имеет плотность распределения f(х), то распределение случайной величины
(9.1)
является равномерным на отрезке [0, 1].
Для моделирования случайных величин с законом распределения f(х) представляет интерес обратная задача: зная закон распределения f(х) и имея случайные числа ξi , получить случайные числа ηi, имеющие плотность распределения f(х). Это достигается путем разрешения относительно ηi. следующего уравнения
(9.2)
Если удается взять интеграл, то соотношение (9.2) может быть непосредственно использовано в моделирующих алгоритмах. Пусть требуется получить случайные числа ηi с показательным законом распределения (см. рисунок 9.1, б)
f(х) =λ · е-λκ , (х > 0) (9.3)
Тогда по методу обратной функции можно записать
. (9.4)
После вычисления интеграла имеем
(9.5)
Разрешая последнее уравнение относительно ηi. можно записать следующее соотношение для получения случайных чисел с показательным законом распределения
, (9.6)
Однако, для большинства законов распределения не удается вычислить интеграл в уравнении (9.2) и, следовательно, выразить ηiчерез ξi. В этом случае прибегают к приближенным способам преобразования равномерного закона распределения в требуемый, при которых оказываются справедливыми соответствующие предельные теоремы.
Пусть требуется получить последовательность случайных чисел ηi, имеющих нормальное распределение (см. рисунок 9.1, в)
, (9.7)
где а - математическое ожидание;
σ - среднеквадратическое отклонение.
Здесь можно воспользоваться центральной предельной теоремой теории вероятностей и построить случайные числа ηi в виде сумм последовательных случайных чисел, имеющих равномерное распределение на отрезке [0, 1] .
В частности, случайные числа, имеющие стандартизированное нормальное распределение, у которого а = 0 и σ = 1, могут быть получены, например, по следующей зависимости
. (9.8)
Исходя из стандартизированного закона распределения, можно получить нормально распределенные случайные числа с произвольными значениями а и σ по формуле
. (9.9)
Алгоритм формирования n случайных чисел, имеющих нормальное распределение общего вида, приведен на рисунке 9.3.
Рисунок 9.3 - Структурная схема алгоритма моделирования
Дата добавления: 2014-12-27; просмотров: 1945;