Операция импликации, или импликация высказываний
Высказывание С, составленное из высказываний А и В при помощи слов «если…, то…», называют импликацией высказываний А и В и 1б1-начают
(выражение читается «из А следует В», или «если А, то В»).
Импликация ложна только в том случае, когда А – истинное высказывание, а В – ложное. Во всех других случаях импликация имеет значение «истина».
Таблица истинности для операции импликации:
А | В | |
Первый член импликации , – высказывание А, – называется посылкой, или условием, а второй член В – заключением.
Обратите внимание, что таблица истинности для импликации, в отличии от таблиц для конъюнкции, дизъюнкции и эквивалентности, изменяется при перестановке столбцов для А и В.
Отметим также, что импликация не полностью соответствует обычному пониманию слов «если…, то…» и «следует». Из третьей и четвёртой строк таблицы истинности для импликации вытекает, что если А – ложно, то, каково бы ни было В, высказывание считается истинным. Таким образом, из неверного утверждения следует всё что угодно.
Например, утверждения «если 6 – простое число, то » или «если , то существуют ведьмы» являются истинными. Истинным является и рассмотренное ранее высказывание: «если слон – насекомое, то Антарктида покрыта тропическими лесами».
Для иллюстрации содержательного смысла импликации рассмотрим ещё один пример.
Пусть {папа завтра получит премию},
{папа завтра купит сыну велосипед}.
Импликация может быть сформулирована так:
«если папа завтра получит премию, то купит сыну велосипед».
Пусть А и В – истинны. Тогда папа, получив премию, покупает сыну велосипед. Естественно считать это истинным высказыванием.
Если же папа, получив премию (А – истинно), не купит сыну велосипед (В – ложно), то это, можно сказать, – не логичный поступок, и импликация имеет значение «ложь».
Если папа не получит премию (А – ложно), но купит велосипед (В – истинно), то результат положителен (импликация истинна).
Наконец, в том случае, если, не получив премии (А – ложно), папа не купит велосипед (В – ложно), то обещание не нарушено, импликация истинна.
Задача 1. Даны два высказывания и . В чём заключаются высказывания , , , ? Какие из этих высказываний истинны и какие ложны?
Решение.
1) Высказывание , очевидно, ложно. Для того чтобы произведение двух высказываний было истинным, нужно чтобы оба высказывания были истинными.
2) Высказывание истинно, т.к. одно из слагаемых является истинным высказыванием.
Высказывание можно записать в виде одного верного нестрогого неравенства .
3) Эквивалентность ( тогда и только тогда, когда ) представляет собой ложное высказывание, т.к. А – ложно, а В – истинно.
4) Импликация то является истинным высказыванием.
В самом деле, импликация согласно определению ложна только тогда, когда А – истинно, а В – ложно.
Дата добавления: 2014-11-29; просмотров: 2041;