Определение погрешности косвенных измерений

Погрешности измеряемых и табличных величин обуславливают погрешности DХ_ср косвенно определяемой величины, причем наибольший вклад в DХ_ср дают наименее точные величины, имеющие максимальную относительную погрешность d. Поэтому, для повышения точности косвенных измерений, необходимо добиваться равноточности прямых измерений

(d_А, d_В, d_С, … ).

Правила нахождения погрешностей косвенных измерений:

1. Находят натуральный логарифм от заданной функции

ln{X = f(A,B,C,…)};

2. Находят полный дифференциал (по всем переменным) от найденного натурального логарифма заданной функции;

3. Заменяют знак дифференциала d на знак абсолютной погрешности D;

4. Заменяют все «минусы», стоящими перед абсолютными погрешностями DА, DВ, DС, … на «плюсы».

В результате получается формула наибольшей относительной погрешности d_x косвенно измеренной величины Х:

d_x = = j (A_ср, B_ср, C_ср, …, DA_ср, DB_ср, DC_ср, …). (18)

По найденной относительной погрешности d_x определяют абсолютную погрешность косвенного измерения:

DХ_ср = d_x ^. Х_ср . (19)

Результат косвенных измерений записывают в стандартном виде и изображают на числовой оси:

X = (X_ср ± DХ_ср), ед.изм. (20)

Рис. 2.2.

Пример:

Найти значения относительной и средней погрешностей физической величины L, определяемой косвенно по формуле:

, (21)

где π, g, t, k, α, β – величины, значения которых измерены или взяты из справочных таблиц и занесены в таблицу результатов измерений и табличных данных (подобную табл.1).

1. Вычисляют среднее значение L_ср, подставляя в (21) средние значения из таблицы – π_ср , g_ср , t_ср , k_ср , α_ср , β_ср .

2. Определяют наибольшую относительную погрешность δ_L :

a). Логарифмируют формулу (21):

(22)

b). Дифференцируют полученное выражение (22):

(23)

c).Заменяют знак дифференциала d на Δ, а «минусы» перед абсолютными погрешностями – на «плюсы», и получают выражение для наибольшей относительной погрешности δ_L :

δ_L =

d). Подставляя в полученное выражение средние значения входящих величин и их погрешностей из таблицы результатов измерений, вычисляют δ_L .

3. Затем вычисляют абсолютную погрешность ΔL_ср:

Результат записывают в стандартном виде и изображают графически на оси L:

, ед. изм.