Теорема о проецировании прямого угла

Как известно, прямой угол, образованный двумя прямыми, проецируется на плоскость проекций без искажения, когда плоскость этого угла параллельна плоскости проекций (стороны угла параллельны плоскости проекций, т.е. являются прямыми уровня). Кроме этого бывают случаи, когда лишь одна сторона прямого угла является прямой уровня. Сохраняется ли при этом прямой угол? Ответить на этот вопрос позволяет следующая теорема.

Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая сторона ей не перпендикулярна, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажения.

Докажем её. Пусть сторона АВ прямого угла параллельна плоскости П₁, а сторона ВС занимает общее положения по отношению к этой плоскости (рис.3.14). Спроецируем ортогонально на плоскость П₁ точки А, В и С. Покажем, что угол С₁В₁А₁ является прямым.

Прямая ВС и проецирующий луч ВВ₁ образуют плоскость Γ, перпендикулярную к прямой АВ. Т.к. горизонтальная проекция А₁В₁ параллельна отрезку АВ, то прямая А₁В₁ также перпендикулярна плоскости Γ. А это значит, что А₁В₁ перпендикулярна отрезку В₁С₁, лежащему в плоскости Γ, что и требовалось доказать.

Применяя полученный результат к проекциям на комплексном чертеже, можно получить следующую формулировку:

Рис.3.14. Проецирование прямого угла

две взаимно перпендикулярные прямые тогда и только тогда сохраняют свою перпендикулярность в горизонтальной, фронтальной или профильной плоскостях проекций, когда, по крайней мере, одна из этих прямых соответственно является горизонталью, фронталью или профильной прямой.

На рис.3.15 показаны проекции перпендикулярных прямых a и b, и проекции прямых c и d, расположенных произвольно (не перпендикулярных между собой).

Рис.3.15