Плоскость общего положения на комплексном чертеже

Определителем плоскости называется совокупность геометрических элементов, однозначно задающих положение плоскости в пространстве. На комплексном чертеже плоскость задаётся проекциями элементов своего определителя. Плоскость считается заданной, если относительно произвольной точки пространства можно однозначно решить вопрос о её принадлежности к этой плоскости. Плоскость называется плоскостью общего положения, если она не параллельна и не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций.

Существуют следующие способы задания плоскости:

1) тремя точками, не лежащими на одной прямой, например, точками А, В и С; определитель плоскости – Σ(А,В,С) (рис.4.1);

2) прямой и точкой, не лежащей на прямой, например, прямой l и точкой А; определитель плоскости – Σ(l,A) (рис.4.2);

Рис.4.1 Рис.4.2

3) двумя пересекающимися прямыми, например, прямыми a и b; определитель плоскости – Σ(a∩b) (рис.4.3);

4) двумя параллельными прямыми, например, прямыми m и n; определитель плоскости – Σ(m||n) (рис.4.4);

Рис.4.3 Рис.4.4

5) любой плоской фигурой, например, треугольником АВС; определитель плоскости – Σ(Δ АВС) (рис.4.5);

6) следами плоскости; определитель плоскости - Σ(h⁰,f⁰) (рис.4.6).

Рис.4.5 Рис.4.6

Каждую плоскость можно задать любым из этих способов. При этом всегда можно перейти от одного способа задания плоскости к другому.

Следом плоскости называется прямая пересечения плоскости с плоскостью проекций. Горизонтальным следом плоскости называется прямая пересечения плоскости с плоскостью проекций П₁. Фронтальным следом плоскости называется прямая пересечения плоскости с плоскостью проекций П₂. Профильным следом плоскости называется прямая пересечения плоскости с плоскостью проекций П₃. У плоскости общего положения три следа.

Для того чтобы построить следы плоскости общего положения, нужно знать следующие положения:

1) горизонтальный след плоскости проходит через горизонтальные следы всех прямых, лежащих в этой плоскости; то же самое можно сказать и относительно фронтального и профильного следов плоскости;

2) следы плоскости пересекаются между собой на осях координат: горизонтальный и фронтальный – на оси x₁₂, горизонтальный и профильный – на оси y₁₃, фронтальный и профильный – на оси z₂₃.

Поэтому для построения следов какой-либо плоскости общего положения необходимо взять на плоскости две произвольные прямые, построить их следы и соединить одноимённые следы между собой прямой линией. На рис.4.7 и 4.8 приведён пример построения следов плоскости Σ.

Рис.4.7 Рис.4.8

Сначала определяем горизонтальный след прямой АВ. Для этого продлеваем фронтальную проекцию прямой А₂В₂ до пересечения с осью x₁₂ в точке 1₂, которая является фронтальной проекцией горизонтального следа прямой АВ. Горизонтальная проекция 1₁ горизонтального следа прямой находится на продолжении отрезка А₁В₁. Затем аналогичными построениями находим проекции горизонтального следа прямой ВС – точки 2₂ и 2₁. Соединив найденные горизонтальные проекции горизонтальных следов прямых АВ и ВС, можно получить горизонтальную проекцию горизонтального следа h⁰₁ плоскости Σ. Фронтальная проекции h⁰₂ горизонтального следа плоскости совпадает с осью x₁₂.

Для построения фронтального следа плоскости достаточно найти хотя бы одну его точку, т.к. вторая точка (точка пересечения следов на оси x₁₂) уже найдена. Для этого продлеваем горизонтальную проекцию В₁С₁ стороны ВС до пересечения с осью x₁₂ в точке 3₁ – горизонтальной проекции фронтального следа прямой ВС. Фронтальная проекция 3₂ фронтального следа лежит на продолжении прямой В₂С₂. Далее соединим найденную точку 3₂ с точкой пересечения следов на оси x₁₂. Получим фронтальную проекцию f ⁰₂ фронтального следа плоскости Σ. Горизонтальная проекция f ⁰₁ фронтального следа плоскости совпадает с осью x₁₂.