Определение натуральной величины отрезка прямой

Как известно, длина проекции отрезка прямой линии при ортогональном проецировании на плоскость равна длине отрезка лишь в том случае, когда отрезок параллелен плоскости проекций, т.е. является прямой уровня. Во всех других случаях длина проекции отрезка меньше истинной (натуральной) длины отрезка. В связи с этим часто бывает необходимо определить натуральную длину отрезка прямой, зная длины проекций отрезка. Как это можно сделать покажем ниже.

Пусть задан отрезок АВ прямой общего положения. Спроецируем его ортогонально на плоскости проекций П₁ и П₂ . Получим горизонтальную проекцию А₁В₁ и фронтальную проекцию А₂В₂ отрезка прямой (рис.3.10). Выполним дополнительное построение, которое заключается в проведении прямой через точку А параллельно горизонтальной проекции отрезка А₁В₁. Точку пересечения этой прямой с проецирующей прямой ВВ₁ обозначим В’. Рассмотрим треугольник АВ’B. Это прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине В’(т.к. прямая ВВ₁ перпендикулярна П₁, а прямая АВ’ параллельна П₁). Одним катетом этого треугольника является отрезок, равный горизонтальной проекции А₁В₁ (АВ’= А₁В₁), а другим катетом – отрезок ВВ’, равный разности высот точек А и В (высота точки А – отрезок АА₁, высота точки В – отрезок ВВ₁) – Δh=h_A-h_B. Гипотенуза треугольника равна натуральной длине отрезка АВ, а угол между гипотенузой и прилежащим катетом равен углу α наклона отрезка АВ к горизонтальной плоскости проекций П₁.

Выполним дополнительные построения на комплексном чертеже. В точке В₁ восстановим перпендикуляр к прямой А₁В₁ и на нём отложим отрезок В₁В*, равный отрезку В₂В’ – разности высот точек А и ВΔh=h_A-h_B.

Если сравнить между собой два треугольника – треугольник А₁В₁В* на комплексном чертеже и треугольник АВ’В на наглядном изображении, то можно увидеть, что это два прямоугольных треугольника с одинаковыми катетами. А в этом случае они равны между собой. И поэтому гипотенуза треугольника А₁В₁В* на комплексном чертеже равна натуральной длине отрезка АВ, а угол между гипотенузой и прилегающим катетом равен углу α наклона отрезка прямой АВ к горизонтальной плоскости проекций П₁.

Рис.3.10. Определение натуральной длины отрезка прямой

и углов наклона прямой АВ к плоскостям: П₁ –α, П₂ –β

Аналогичные построения можно сделать и для плоскости П₂. На наглядном изображении проведём прямую АВ” параллельно фронтальной проекции А₂В₂ отрезка АВ. Получившийся треугольник АВВ” также является прямоугольным с прямым углом в точке В”. Один катет АВ” треугольника равен по длине фронтальной проекции отрезка А₂В₂, а второй катет – разности глубин точек А и В (глубина точки А – отрезок АА₂, глубина точки В – отрезок ВВ₂) – Δf=f_B-f_A. Гипотенуза треугольника равна натуральной длине отрезка АВ, а угол между гипотенузой и прилежащим катетом равен углу β наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций П₂.

Дополним комплексный чертеж. В точке В₂ восстановим перпендикуляр к прямой А₂В₂ и на нём отложим отрезок В₂В**, равный отрезку В₁В’’ – разности глубин точек А и ВΔf=f_B-f_A.

Если сравнить между собой два треугольника – треугольник А₂В₂В** на комплексном чертеже и треугольник А” на наглядном изображении, то можно увидеть, что это два прямоугольных треугольника с одинаковыми катетами. В этом случае они равны между собой. И поэтому гипотенуза треугольника А₂В** на комплексном чертеже равна натуральной длине отрезка АВ, а угол между гипотенузой и прилегающим катетом равен углу β наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций П₂.

Таким образом, натуральная величина отрезка прямой определяется гипотенузой прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит какая-либо проекция этого отрезка, а другим катетом – разность расстояний концов отрезка до выбранной плоскости проекций.