Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов.
Применим распределение Максвелла для вывода основного уравнения кинетической теории газов. Наша задача установить путем статистического усреднения микрохарактеристик молекул системы, некоторые макрохарактеристики, описывающие газ в целом. Известно, что давление газа создается за счет ударов молекул газа о стенки сосуда. Примем, что удар является абсолютно упругим и молекулы бомбардируют стенки как материальные точки под разными углами и с различными скоростями.
По второму закону Ньютона: ,
.
Молекулы ударяются о стенку и отскакивают, меняя только -составляющую скорости. Подсчитаем изменение
-составляющей импульса всех молекул за время
. Надо подсчитать поток импульса молекул в положительном направлении оси
, т.е.
м2,
с, поток – число частиц пролетающих за единицу времени через единичную площадку. В стенку ударятся только те молекулы, которые движутся к ней, а не от нее, т.е.
. За время
до стенки долетают все молекулы в объеме
,
.
Вероятность частиц иметь такую скорость , тогда число частиц, имеющих такую скорость
.
Импульс, передаваемый стенке сосуда
, вычислим
отдельно внутренний интеграл и подставим в выражение
, рассчитаем интеграл, сделав замену переменной,
,
,
, отсюда
,
,
,
,
, подставим полученное в интеграл:
. Таким образом давление на стенку
.
Аналогично для других стенок , с другой стороны
, тогда
, таким образом
,
- основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа.
Отсюда можно получить уравнение состояния идеального газа:
Þ
- уравнение состояния идеального газа.
Если имеется смесь газов, то - закон Дальтона.
Функция Больцмана
Плотность вероятности того, что молекула имеет положение в интервале
– функция распределения Больцмана
Вероятность того, что частица находится в объеме , вблизи точки
-
.
Определим зависимость плотности идеального газа в поле сил тяжести при изотермических условиях. Потенциальная энергия частицы в поле силы тяжести:
,
, тогда число частиц в объеме
,
.
Масса частиц в объеме , отсюда
.
Пусть , тогда обозначив,
- плотность на уровне моря, а
, получим
зависимость плотности от высоты
.
Если учтем уравнение состояния идеального газа, то получим зависимость давления от
высоты получим Þ
- барометрическая формула.
Используя распределение молекул по высоте Ж.Перрен экспериментально определил постоянную Авогадро. Он исследовал под микроскопом распределение броуновских частиц, т.е. считал под микроскопом число таких частиц на разных высотах в сосуде. Частицы были помещены в жидкость, плотность которой лишь на немного меньше плотности материала частиц, для того чтобы тяжелые частицы не «осели на дно», а распределились в достаточно большом слое по высоте.
, где
- масса частицы,
- масса вытесненной воды.
,
Þ
Þ
.