Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов.

Применим распределение Максвелла для вывода основного уравнения кинетической теории газов. Наша задача установить путем статистического усреднения микрохарактеристик молекул системы, некоторые макрохарактеристики, описывающие газ в целом. Известно, что давление газа создается за счет ударов молекул газа о стенки сосуда. Примем, что удар является абсолютно упругим и молекулы бомбардируют стенки как материальные точки под разными углами и с различными скоростями.

По второму закону Ньютона: , .

Молекулы ударяются о стенку и отскакивают, меняя только -составляющую скорости. Подсчитаем изменение -составляющей импульса всех молекул за время . Надо подсчитать поток импульса молекул в положительном направлении оси , т.е. м², с, поток – число частиц пролетающих за единицу времени через единичную площадку. В стенку ударятся только те молекулы, которые движутся к ней, а не от нее, т.е. . За время до стенки долетают все молекулы в объеме , .

Вероятность частиц иметь такую скорость , тогда число частиц, имеющих такую скорость .

Импульс, передаваемый стенке сосуда

, вычислим отдельно внутренний интеграл и подставим в выражение

, рассчитаем интеграл, сделав замену переменной,

, , , отсюда , , , , , подставим полученное в интеграл:

. Таким образом давление на стенку

.

Аналогично для других стенок , с другой стороны , тогда
, таким образом , - основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа.

Отсюда можно получить уравнение состояния идеального газа:

Þ - уравнение состояния идеального газа.

Если имеется смесь газов, то - закон Дальтона.

Функция Больцмана

Плотность вероятности того, что молекула имеет положение в интервале
– функция распределения Больцмана

Вероятность того, что частица находится в объеме , вблизи точки -

.

Определим зависимость плотности идеального газа в поле сил тяжести при изотермических условиях. Потенциальная энергия частицы в поле силы тяжести:

, , тогда число частиц в объеме ,

.

Масса частиц в объеме , отсюда

.

Пусть , тогда обозначив, - плотность на уровне моря, а , получим зависимость плотности от высоты .

Если учтем уравнение состояния идеального газа, то получим зависимость давления от

высоты получим Þ - барометрическая формула.

Используя распределение молекул по высоте Ж.Перрен экспериментально определил постоянную Авогадро. Он исследовал под микроскопом распределение броуновских частиц, т.е. считал под микроскопом число таких частиц на разных высотах в сосуде. Частицы были помещены в жидкость, плотность которой лишь на немного меньше плотности материала частиц, для того чтобы тяжелые частицы не «осели на дно», а распределились в достаточно большом слое по высоте.

, где - масса частицы, - масса вытесненной воды.

, Þ Þ

.